Объясните. Три различные плоскости имеют общую точку

Три плоскости могут не иметь ни одной общей точки (если по крайней мере две из них параллельны, а также если прямые их пересечения параллельны), могут иметь бесчисленное множество общих точек (если все они проходят через одну прямую) или иметь только

одну общую точку. В первом случае система уравнений

не имеет решений, во втором имеет бесчисленное множество решений, в третьем - только одно решение. Для исследования удобнее всего применить определители (§ 183, 190), но можно обойтись и средствами элементарной алгебры.

Пример 1. Плоскости

не имеют общих точек, так как плоскости (1) и (2) параллельны (§ 125). Система уравнений несовместна (уравнения (1) и (2) противоречат друг другу).

Пример 2. Исследовать, есть ли общие точки у трех плоскостей

Ищем решение системы (4)-(6). Исключив 2 из (4) и (5), получаем исключив 2 из (4) и (6), получаем Эти два уравнения несовместны. Значит, три плоскости не имеют общих точек. Так как среди них нет параллельных плоскостей, то три прямые, по которым плоскости попарно пересекаются, параллельны.

Пример 3. Исследовать, есть ли общие точки у плоскостей

Поступая, как в примере 2, получим оба раза т. е. фактически не два, а одно уравнение. Оно имеет бесчисленное множество решений. Значит, три

Тема «Аксиомы стереометрии и следствия из них». Вариант 2 . 1.Что можно сказать о взаимном расположении двух плоскостей, которые имеют три общие

точки, не лежащие на одной прямой? а) Пересекаются; б) ничего сказать нельзя; в) не пересекаются; г) совпадают; д) имеют три общие точки.

2. Какое из следующих утверждений верно? а) Если две точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости; б) прямая, лежащая в плоскости треугольника, пересекает две его стороны; в) любые две плоскости имеют только одну общую точку; г) через две точки проходит плоскость и притом только одна; д) прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она пересекает две прямые, содержащие стороны треугольника.

3. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки? а) Никогда; б) могу, но при дополнительных условиях; в) всегда имеют; г) нельзя ответить на вопрос; д) другой ответ.

4. Точки K, L, M лежат на одной прямой, точка N не лежит на ней. Через каждые три точки проведена одна плоскость. Сколько различных плоскостей при этом получилось? а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) бесконечно много.

5. Выберите верное утверждение. а) Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна; б) если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости; в) если две плоскости имеют общую точку, то они не пересекаются; г) через прямую и точку, лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна; д) через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя.

6. Назовите общую прямую плоскостей PBM и MAB. а) PM; б) AB; в) PB; г) BM; д) определить нельзя.

7. Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая с, не проходящая через точку М, пересекает прямые а и b. Что можно сказать о взаимном положении прямых а, b и c? а) Все прямые лежат в разных плоскостях; б) прямые а и b лежат в одной плоскости; в) все прямые лежат в одной плоскости; г) ничего сказать нельзя; д) прямая с совпадает с одной из прямых: или с а, или с b.

8. Прямые а и b пересекаются в точке О. A € a, B € b, Y € AB. Выберите верное утверждение. а) Точки O и Y не лежат в одной плоскости; б) прямые OY и a параллельны; в) прямые a, b и точка Y лежат в одной плоскости; г) точки O и Y совпадают; д) точки Y и A совпадают.

Вариант 2.

1.Что можно сказать о взаимном расположении двух плоскостей, которые имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой?
а) Пересекаются; б) ничего сказать нельзя; в) не пересекаются; г) совпадают; д) имеют три общие точки.

2. Какое из следующих утверждений верно?
а) Если две точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости; б) прямая, лежащая в плоскости треугольника, пересекает две его стороны; в) любые две плоскости имеют только одну общую точку; г) через две точки проходит плоскость и притом только одна; д) прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она пересекает две прямые, содержащие стороны треугольника.

3. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки?
а) Никогда; б) могу, но при дополнительных условиях; в) всегда имеют; г) нельзя ответить на вопрос; д) другой ответ.

4. Точки K, L, M лежат на одной прямой, точка N не лежит на ней. Через каждые три точки проведена одна плоскость. Сколько различных плоскостей при этом получилось?
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) бесконечно много.

5. Выберите верное утверждение.
а) Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна; б) если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости; в) если две плоскости имеют общую точку, то они не пересекаются; г) через прямую и точку, лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна; д) через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя.

6. Назовите общую прямую плоскостей PBM и MAB.
а) PM; б) AB; в) PB; г) BM; д) определить нельзя.

7. Какую из перечисленных плоскостей пересекает прямая РМ (рис.1)?
а) DD1C; б) D1PM; в) B1PM; г) ABC; д) CDA.
В1 С1

8.Две плоскости пересекаются по прямой с. Точка М лежит только в одной из плоскостей. Что можно сказать о взаимном положении точки М и прямой с?
а) Никакого вывода сделать нельзя; б) прямая с проходит через точку М; в) точка М лежит на прямой с; г) прямая с не проходит через точку М; д) другой ответ.

9. Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая с, не проходящая через точку М, пересекает прямые а и b. Что можно сказать о взаимном положении прямых а, b и c?
а) Все прямые лежат в разных плоскостях; б) прямые а и b лежат в одной плоскости; в) все прямые лежат в одной плоскости; г) ничего сказать нельзя; д) прямая с совпадает с одной из прямых: или с а, или с b.

10. Прямые а и b пересекаются в точке О. A € a, B € b, Y € AB. Выберите верное утверждение.
а) Точки O и Y не лежат в одной плоскости; б) прямые OY и a параллельны; в) прямые a, b и точка Y лежат в одной плоскости; г) точки O и Y совпадают; д) точки Y и A совпадают.

ОТВЕТЫ ПОЯСНИТЬ, СПАСИБО БОЛЬШОЕ ЗАРАРАНЕЕ!) Точка А лежит на ребре двугранного угла. 1. Верно ли, что угол ВАС - линейный угол двугранного угла, если

лучи АВ и АС перпендикулярны его ребру? 2.Верно ли, что линейный угол ВАС двугранного угла, если лучи АВ и АС лежат в гранях двугранного угла? 3. Верно ли, что угол ВАС - линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС перпендекулярны его ребру, а точки Е и С лежат на гранях угла? 4. Линейный угол двугранного угла равен 80 градусов. Найдется ли в одной из граней угла прямая, перпендикулярная другой грани? 5. Угол АВС - линейный угол двугранного угла с ребром альфа. Перпендекулярна ли прямая альфа плоскости АВС? Верно ли, что все прямые, перпендекулярные данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

I5 Каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.

I6 Если две точки А и В прямой лежат в плоскости a, то каждая точка прямой а лежит в плоскости a. (В этом случае будем говорить, прямая а лежит в плоскости a или что плоскостьa проходит через прямую а.

I7 Если две плоскости a и b имеют общую точку А, то они имеют, по крайней мере, еще одну общую точку В.

I8 Существует, по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Уже из этих 8 аксиом можно вывести несколько теорем элементарной геометрий, которые наглядно очевидны и, поэтому, в школьном курсе геометрии не доказываются и даже иногда из логических соображений включаются в аксиомы того или иного школьного курса

Например:

1. Две прямые имеют не более одной общей точки.

2. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей

Доказательство: (для понта):

По I 7 $ В, которая тоже принадлежит a и b,т.к. А,В " a, то по I 6 АВ "b. Значит прямая АВ является общий для двух плоскостей.

3. Через прямую и не лежащую на ней точку, так же как через две пересекающиеся прямые, проходит одна и только одна плоскость.

4. На каждой плоскости существует три точки, не лежащие на одной прямой.

ЗАМЕЧАНИЕ : С помощью этих аксиом можно доказать немного теорем и большинство из них вот такие простые. В частности из этих аксиом нельзя доказать, что множество геометрических элементов бесконечно.

ГРУППА II Аксиомы порядка.

Если на прямой даны три точки, то одна из них может находиться к двум другим в отношении «лежать между», которое удовлетворяет следующим аксиомам:

II1 Если В лежит между А и С, то А,В, С- различные точки одной прямой и В лежит между С и А.

II2 Каковы бы ни были две точки А и В, существует по крайней мере одна точка С на прямой АВ, такая, что В лежит между А и С.

II3 Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими

По Гильберту над отрезком АВ(ВА) понимается пара точек А и В. Точки А и В называются концами отрезка, а любая точка лежащая между точками А и В называется внутренней точкой отрезка АВ(ВА).

ЗАМЕЧАНИЕ: Но из II 1- II 3 пока не следует, что у всякого отрезка есть внутренние точки, но из II 2, Þ что у отрезка есть внешние точки.

II4 (аксиома Паша) Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, а - прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну из точек А,В,С. Тогда если прямая, а проходит через точку отрезка АВ, то она проходит также через точку отрезка АС или ВС.

Сл.1 : Каковы бы ни были точки А и С, существует по крайней мере одна точка D на прямой АС, лежащая между А и С.

Док-во : I 3 Þ$ т.Е не лежащая на прямой АС

Сл.2. Если С лежит на отрезке АД и В между А и С, то В лежит между А и Д, а С между В и Д.

Теперь можно доказать два утверждения

Сл3 Утверждение II 4 имеет место и в случае, если точки А, В и С лежат на одной прямой.

И самое интересное.

Сл.4 . Между любыми двумя точками прямой существует бесконечное множество других ее точек (самост.).

Однако нельзя установить, что множество точек прямой несчетное.

Аксиомы I и II групп позволяют ввести такие важные понятия как полуплоскость, луч, полупространство и угол . Сначала докажем теорему.

Тh1 . Прямая а, лежащая в плоскости a, разделяет множество точек этой плоскости, не лежащих на прямой а, на два непустых подмножества так, что если т. А и В принадлежат одному подмножеству, то отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а; если же эти точки принадлежат разным подмножествам, то отрезок АВ имеет общую точку с прямой а.

Идея: вводится отношение, а именно, т. А и В Ïа находятся в отношенииΔ, если отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а или эти точки совпадают. Затем рассматривалися множества классов эквивалентности по отношению Δ. Доказывается, что их только два при помощи несложных рассуждений.

Опр1 Каждое из подмножеств точек, определяемых предыдущей теоремой называется полуплоскостью с границай а.

Аналогично можно ввести понятия луча и полупространства.

Луч-h , а прямая- .

Опр2 Угол - это пара лучей h и k, исходящих из одной т. О и не лежащих на одной прямой. т.О называется вершиной угла, а лучи h и k сторонами угла. Обозначаем обычным образом: Ðhk.

Точка M называется внутренней точкой угла hk, если точка М и луч k лежат в одной полуплоскости с границей и точка М и луч k лежат в одной полуплоскости с границей . Множество всех внутренних точек называется внутренней областью угла .

Внешняя область угла - бесконечное множество, т.к. все точки отрезка с концами на разных сторонах угла являются внутренними. Следующее свойство из методических соображений часто включают в аксиомы.

Свойство: Если луч исходит из вершины угла и проходит хотя бы через одну внутреннюю точку этого угла, то он пересекает любой отрезок с концами на разных сторонах угла. (Самост.)

ГРУППА III. Аксиомы конгруэнтности (равенства)

На множестве отрезков и углов вводится отношение конгруэнтности или равенства (обозначается “=”), удовлетворяющее аксиомам:

III 1 Если даны отрезок АВ и луч, исходящий из т. А / , то $ т.В / , принадлежащая данному лучу, т. что АВ=А / В / .

III 2 Если А / В / =АВ и А // В // =АВ, то А / В / =А // В // .

III 3 Пусть А-В-С, А / -В / -С / , АВ=А / В / и ВС=В / С / , тогда АС=А / С /

Опр3 Если О / - точка,.h / -луч, исходящий из этой точки, а l / -полуплоскость с границей , то тройка объектов О / ,h / и l / называется флагом (О / ,h / ,l /).

III 4 Пусть даны Ðhk и флаг (О / ,h / ,l /). Тогда в полуплоскости l / существует единственный луч k / , исходящий из точки О / , такой что Ðhk = Ðh / k / .

III 5 Пусть А,В и С - три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом АВ=А / В / , АС=А / С / , ÐВ / А / С / = ÐВАС, то ÐАВС = ÐА / В / С / .

1. Точка В / в III 1 единственная на данном луче (самост.)

2. Отношение конгруэнтности отрезков является отношением эквивалентности на множестве отрезков.

3. В равнобедренном треугольнике углы при оснований равны. (По III 5).

4. Признаки равенства треугольников.

5. Отношение конгруэнтности углов является отношением эквивалентности на множестве углов. (Доклад)

6. Внешний угол треугольника больше каждого угла треугольника, не смежного с ним.

7. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

8. Любой отрезок имеет одну и только одну середину

9. Любой угол имеет одну и только одну биссектрису

Можно ввести следующие понятия:

Опр4 Угол равный своему смежному называется прямым .

Можно определить вертикальные углы, перпендикуляр и наклонные и т.д

Можно доказать единственность ^. Можно ввести понятия > и < для отрезков и углов:

Опр5 Если даны отрезки АВ и А / В / и $ т.С, т. что А / -С-В / и А / С=АВ, то А / В / >АВ.

Опр6 Если даны два угла Ðhk и Ðh / k / , и если через внутреннюю область Ðhk и его вершину можно провести луч l такой, что Ðh / k / = Ðhl, то Ðhk > Ðh / k / .

И самое интересное, это, то что при помощи аксиом групп I-III можно ввести понятие движения(наложения).

Делается это примерно так:

Пусть даны два множества точек p и p / .Предположим, что между точками этих множеств установлено взаимно однозначное соответствие. Каждая пара точек М и N множества p определяет отрезок МN. Ппусть М / и N / точки множества p / , соответствующие точкам МN. Отрезок М / N / условимся называть соответствующим отрезку МN.

Опр7 Если $ соответствие между p и p / такое, что соответствующие отрезки всегда оказывается взаимно конгруэнтными, то и множества p и p / называется конгруэнтными . При этом говорят также, что каждое из множеств p и p / получено движением из другого или, что одно из этих множеств может быть наложено на другое. Соответствующие точки множества p и p / называется совмещающимся при наложении.

Утв1: Точки лежащие на прямой, при движении переходят в точки, также лежащие на некоторой прямой.

Утв2 Угол, между двумя отрезками, соединяющими какую-нибудь точку множества с двумя другими его точками, конгруэнтен углу между соответствующими отрезками конгруэнтного множества.

Можно ввести понятие вращения, сдвига, композиции движений и т.д

ГРУППА IV. Аксиомы непрерывност и.

IV 1 (Аксиома Архимеда). Пусть АВ и СD какие-нибудь отрезки. Тогда на прямой АВ существует конечное множество точек А 1 , А 2 , …, А n , таких что выполняются условия:

1. А-А 1 -А 2 , А 1 -А 2 -А 3 , …, A n -2 -A n -1 -A n

2. AA 1 = A 1 A 2 = … = A n-1 A n = CD

3. A-B-A n

IV2 (Аксиома Кантора) Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная последовательность отрезков А1В1, А2В2,… из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего и, кроме того, для любого отрезка СD найдется натуральное число n, такое, что АnВn < СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.

Из условия аксиомы Кантора сразу следует, что такая т.M единственная, т. к. если это не так, и сущ. еще одна т.N, то отрезок МN

Можно доказать, что аксиомы I-III и IV 1 ,IV 2 эквивалентны следущему предложению Дедекинда.

Теорема Дедекинда Пусть дано разбиение точек отрезка [АВ] на два класса К 1 и К 2 , те К 1 È К 2 = [АВ], К 1 ÇК 2 =Æ, удовлетворяющее двум условиям:

a) АÎК 1 , ВÎК 2 и классы К 1 и К 2 содержат точки, отличные от точек А и В.

b) Любая точка класса К 1 , отличная от А, лежит между точкой А и любой точкой класса К 2

Тогда $ т.М 0 отрезка [АВ],такая, что любая точка, лежащая между А и М 0 , принадлежит классу К 1 , а любая точка между М 0 и В- классу К 2 .

Разбиение отрезка [АВ] на классы К 1 , К 2 удовлетворяющее условиям а)-в), называется дедекиндовым сечением . Можно доказать, что точка М 0 , производящая сечение единственна.

На основании аксиом I-IV групп можно построить теорию измерения отрезков и углов. Даже можно доказать, что $ биекция. множества точек прямой на множество R вещественных чисел, сохраняется порядок. А вот теорию площадей и объемов построить нельзя, т.к. понадобился Аксиома параллельности.

ГРУППА V. Аксиома параллельности .

V. Пусть а - произвольная прямая, а А- точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определенной точкой А и прямой а, существует не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей а.

На основании I-V можно построить теорию параллельности, подобия и т.д. обосновать тригонометрию, ввести координаты, показать, что прямая на плоскости (определение уравнение первой степени и т.д.)

ЗАМЕЧАНИЕ : V * Пусть а- произвольная прямая, А- точка не лежащая на одной прямой.Тогда в плоскости, определенной т.А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через А и не пересекающих а.

Группа I-IVÈV * -строится геометрия Лобачевского.

Как же так получается, что, заменив лишь одну аксиому, мы получили совсем другую геометрию? Здесь придется затронуть сами основы математики и правила построения математических теорий.

В планиметрии плоскость является одной из основных фигур, поэтому, очень важно иметь ясное представление о ней. Эта статья создана с целью раскрытия этой темы. Сначала дано понятие плоскости, ее графическое представление и показаны обозначения плоскостей. Далее плоскость рассматривается вместе с точкой, прямой или другой плоскостью, при этом возникают варианты из взаимного расположения в пространстве. Во втором и третьем и четвертом пункте статьи как раз разобраны все варианты взаимного расположения двух плоскостей, прямой и плоскости, а также точки и плоскости, приведены основные аксиомы и графические иллюстрации. В заключении даны основные способы задания плоскости в пространстве.

Навигация по странице.

Плоскость – основные понятия, обозначения и изображение.

Простейшими и основными геометрическими фигурами в трехмерном пространстве являются точка, прямая и плоскость. Мы уже имеем представление о точке и прямой на плоскости . Если поместить плоскость, на которой изображены точки и прямые, в трехмерное пространство, то мы получим точки и прямые в пространстве. Представление о плоскости в пространстве позволяет получить, к примеру, поверхность стола или стены. Однако, стол или стена имеют конечные размеры, а плоскость простирается за их границы в бесконечность.

Точки и прямые в пространстве обозначаются также как и на плоскости – большими и маленькими латинскими буквами соответственно. Например, точки А и Q , прямые а и d . Если заданы две точки, лежащие на прямой, то прямую можно обозначить двумя буквами, соответствующими этим точкам. К примеру, прямая АВ или ВА проходит через точки А и В . Плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами, например, плоскости , или .

При решении задач возникает необходимость изображать плоскости на чертеже. Плоскость обычно изображают в виде параллелограмма или произвольной простой замкнутой области.

Плоскость обычно рассматривается вместе с точками, прямыми или другими плоскостями, при этом возникают различные варианты их взаимного расположения. Переходим к их описанию.

Взаимное расположение плоскости и точки.

Начнем с аксиомы: в каждой плоскости имеются точки. Из нее следует первый вариант взаимного расположения плоскости и точки – точка может принадлежать плоскости. Другими словами, плоскость может проходить через точку. Для обозначения принадлежности какой-либо точки какой-либо плоскости используют символ «». Например, если плоскость проходит через точку А , то можно кратко записать .

Следует понимать, что на заданной плоскости в пространстве имеется бесконечно много точек.

Следующая аксиома показывает, сколько точек в пространстве необходимо отметить, чтобы они определяли конкретную плоскость: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, причем только одна. Если известны три точки, лежащие в плоскости, то плоскость можно обозначить тремя буквами, соответствующими этим точкам. Например, если плоскость проходит через точки А , В и С , то ее можно обозначить АВС .

Сформулируем еще одну аксиому, которая дает второй вариант взаимного расположения плоскости и точки: имеются по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Итак, точка пространства может не принадлежать плоскости. Действительно, в силу предыдущей аксиомы через три точки пространства проходит плоскость, а четвертая точка может как лежать на этой плоскости, так и не лежать. При краткой записи используют символ «», который равносилен фразе «не принадлежит».

К примеру, если точка А не лежит в плоскости , то используют краткую запись .

Прямая и плоскость в пространстве.

Во-первых, прямая может лежать в плоскости. В этом случае, в плоскости лежат хотя бы две точки этой прямой. Это устанавливается аксиомой: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. Для краткой записи принадлежности некоторой прямой данной плоскости пользуются символом «». Например, запись означает, что прямая а лежит в плоскости .

Во-вторых, прямая может пересекать плоскость. При этом прямая и плоскость имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости. При краткой записи пересечение обозначаю символом «». К примеру, запись означает, что прямая а пересекает плоскость в точке М . При пересечении плоскости некоторой прямой возникает понятие угла между прямой и плоскостью .

Отдельно стоит остановиться на прямой, которая пересекает плоскость и перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Такую прямую называют перпендикулярной к плоскости. Для краткой записи перпендикулярности используют симовл «». Для более глубокого изучения материала можете обратиться к статье перпендикулярность прямой и плоскости .

Особую значимость при решении задач, связанных с плоскостью, имеет так называемый нормальный вектор плоскости . Нормальным вектором плоскости является любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной этой плоскости.

В-третьих, прямая может быть параллельна плоскости, то есть, не иметь в ней общих точек. При краткой записи параллельности используют символ «». Например, если прямая а параллельна плоскости , то можно записать . Рекомендуем подробнее изучить этот случай, обратившись к статье параллельность прямой и плоскости .

Следует сказать, что прямая, лежащая в плоскости, делит эту плоскость на две полуплоскости. Прямая в этом случае называется границей полуплоскостей. Любые две точки одной полуплоскости лежат по одну сторону от прямой, а две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от граничной прямой.

Взаимное расположение плоскостей.

Две плоскости в пространстве могут совпадать. В этом случае они имеют, по крайней мере, три общие точки.

Две плоскости в пространстве могут пересекаться. Пересечением двух плоскостей является прямая линия, что устанавливается аксиомой: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В этом случае возникает понятие угла между пересекающимися плоскостями . Отдельный интерес представляет случай, когда угол между плоскостями равен девяноста градусам. Такие плоскости называют перпендикулярными. О них мы поговорили в статье перпендикулярность плоскостей .

Наконец, две плоскости в пространстве могут быть параллельными, то есть, не иметь общих точек. Рекомендуем ознакомиться со статьей параллельность плоскостей , чтобы получить полное представление об этом варианте взаимного расположения плоскостей.

Способы задания плоскости.

Сейчас мы перечислим основные способы задания конкретной плоскости в пространстве.

Во-первых, плоскость можно задать, зафиксировав три не лежащие на одной прямой точки пространства. Этот способ основан на аксиоме: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Если в трехмерном пространстве зафиксирована и задана плоскость с помощью указания координат трех ее различных точек, не лежащих на одной прямой, то мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки .

Два следующих способа задания плоскости являются следствием из предыдущего. Они основаны на следствиях из аксиомы о плоскости, проходящей через три точки:

• через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, притом только одна (смотрите также статью уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку);
• через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость (рекомендуем ознакомиться с материалом статьи уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые).

Четвертый способ задания плоскости в пространстве основан на определении параллельных прямых . Напомним, что две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Таким образом, указав две параллельные прямые в пространстве, мы определим единственную плоскость, в которой эти прямые лежат.

Если в трехмерном пространстве относительно прямоугольной системы координат задана плоскость указанным способом, то мы можем составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые .

В курсе средней школы на уроках геометрии доказывается следующая теорема: через фиксированную точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой. Таким образом, мы можем задать плоскость, если укажем точку, через которую она проходит, и прямую, перпендикулярную к ней.

Если в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат и задана плоскость указанным способом, то можно составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой .

Вместо прямой, перпендикулярной к плоскости, можно указать один из нормальных векторов этой плоскости. В этом случае есть возможность написать