Изображение какой-либо точки A предмета в сферическом зеркале можно построить с помощью любой пары стандартных лучей: Для построения изображения какой – либо точки А предмета необходимо найти точку пересечения двух любых отраженных лучей или их продолжений, наиболее удобны лучи, идущие, как показано на рисунках 2.6 – 2.9
2) луч, проходящий через фокус, после отражения пойдет параллельно оптической оси, на которой лежит этот фокус;
4) луч, падающий в полюс зеркала, после отражения от зеркала идет симметрично главной оптической оси (АВ=ВМ)
Рассмотрим несколько примеров на построение изображений в вогнутых зеркалах:
2) Предмет расположен на расстоянии, которое равно радиусу кривизны зеркала. Изображение – действительное, равно по величине размерам предмета, перевернутое, располагается строго под предметом (рис.2.11).
Рис. 2.12
|
3) Предмет расположен между фокусом и полюсом зеркала. Изображение – мнимое, увеличенное, прямое (рис.2.12)
Формула зеркала
Найдем связь между оптической характеристикой и расстояниями, определяющими положение предмета и его изображения.
Пусть предметом служит некоторая точка А, располагающаяся на оптической оси. Используя законы отражения света, построим изображение этой точки (рис. 2.13).
Обозначим расстояние от предмета до полюса зеркала (АО), а от полюса до изображения (ОА¢).
Рассмотрим треугольник АРС, получаем, что
Из треугольника АРА¢, получаем, что 
. Исключим из этих выражений угол , так как единственный который не опирается на ОР.
, 
или
(2.3)
Углы b, q, g опираются на ОР. Пусть рассматриваемые пучки параксиальны, тогда эти углы малы и, следовательно, их значения в радианной мере равно тангенсу этих углов:
; ; 
, где R=OC, является радиусом кривизны зеркала.
Подставим полученные выражения в уравнение (2.3)
Так как мы ранее выяснили, что фокусное расстояние связано с радиусом кривизны зеркала, то
(2.4)
Выражение (2.4) называется формулой зеркала, которая используется лишь с правилом знаков:
Расстояния , , считаются положительными, если они отсчитываются по ходу луча, и отрицательными – в противном случае.
Выпуклое зеркало .
Рассмотрим несколько примеров на построение изображений в выпуклых зеркалах.
2) Предмет расположен на расстоянии равном радиусу кривизны. Изображение мнимое, уменьшенное, прямое (рис.2.15)
Фокус выпуклого зеркала мнимый. Формула выпуклого зеркала
.
Правило знаков для d и f остается таким же, как и для вогнутого зеркала.
Линейное увеличение предмета определяется отношением высоты изображения к высоте самого предмета
. (2.5)
Таким образом, независимо от расположения предмета относительно выпуклого зеркала изображение оказывается всегда мнимым, прямым, уменьшенным и расположенным за зеркалом. В то время как изображения в вогнутом зеркале более разнообразны, зависят от расположения предмета относительно зеркала. Поэтому вогнутые зеркала применяются чаще.
Рассмотрев принципы построения изображений в различных зеркалах, мы подошли к пониманию действия столь различных приборов, как астрономические телескопы и увеличивающие зеркала в косметических приборах и медицинской практике, мы способны сами спроектировать некоторые приборы.
Если отражающая поверхность зеркала является плоской, то оно относится к типу плоских зеркал. Свет всегда отражается от плоского зеркала без рассеяния по законам геометрической оптики:
- Угол падения равен углу отражения.
- Падающий луч, отраженный луч и нормаль к поверхности зеркала в точке падения лежат в одной плоскости.
Следует помнить, что у стеклянного зеркала отражающая поверхность (обычно тонкий слой алюминия или серебра) помещается на его задней стороне. Ее покрывают защитным слоем. Это означает, что хотя основное отраженное изображение формируется на этой поверхности, свет будет также отражаться и от передней поверхности стекла. Образуется вторичное изображение, которое гораздо слабее основного. Оно, как правило, невидимо в повседневной жизни, но создает серьезные проблемы в области астрономии. По этой причине все астрономические зеркала имеют отражающую поверхность, нанесенную на переднюю сторону стекла.
Типы изображений
Существует два типа изображений: действительное и мнимое.
Действительное формируется на пленке видеокамеры, фотоаппарата или на сетчатке глаза. Световые лучи проходят через линзу или объектив, сходятся, падая на поверхность, и на своем пересечении образуют изображение.
Мнимое (виртуальное) получается, когда лучи, отражаясь от поверхности, образуют расходящуюся систему. Если достроить продолжение лучей в противоположную сторону, то они обязательно пересекутся в определенной (мнимой) точке. Именно из таких точек формируется мнимое изображение, которое невозможно зарегистрировать без использования плоского зеркала или других оптических приборов (лупы, микроскопа или бинокля).
Изображение в плоском зеркале: свойства и алгоритм построения
Для реального объекта, изображение, полученное с помощью плоского зеркала, является:
- мнимым;
- прямым (не перевернутым);
- размеры изображения равны размерам объекта;
- изображение находится на таком же расстоянии за зеркалом, как объект перед ним.
Построим изображение некоторого объекта в плоском зеркале.
Воспользуемся свойствами мнимого изображения в плоском зеркале. Нарисуем изображение красной стрелки с другой стороны зеркала. Расстояние А равно расстоянию В, а изображение имеет тот же размер, что и объект.
Мнимое изображение получается на пересечении продолжения отраженных лучей. Изобразим световые лучи, идущие от мнимой красной стрелки к глазу. Покажем, что лучи мнимые, нарисовав их пунктиром. Непрерывные линии, идущие от поверхности зеркала, показывают путь отраженных лучей.
Проведем от объекта прямые линии в точки отражения лучей на поверхности зеркала. Учитываем, что угол падения равен углу отражения.
Плоские зеркала используются во многих оптических приборах. Например, в перископе, плоском телескопе, графопроекторе, секстанте и калейдоскопе. Стоматологическое зеркало для осмотра полости рта тоже плоское.
При отражении лучей, выводящих из некоторой точки А , от плоского зеркала продолжения отраженных лучей сходятся за зеркалом в точке В, лежащей на прямой АВ, нормальной зеркалу, причем плоскость зеркала делит эту прямую на два равных отрезка (рис. 5.1). Глаз, находящийся перед зеркалом, способен воспринять эти лучи и образовать действительное изображение точки (за счет преломления лучей в оптической системе глаза). Но на фотографической пластине, помещенной перед зеркалом, никакого изображения, конечно, не получится. Поэтому изображение BD называют мнимым изображением. Оно оказывается прямым (т. е. расположено так же, как предмет) и равным ему по размеру. Однако оно отличается от предмета, так как правой стороне предмета отвечает левая сторона изображения. При несимметричном предмете изображение и предмет оказываются несовместимыми.
Если луч света попадает в двугранный прямой угол, образованный двумя плоскими зеркалами, то он отражается в направлении своего прихода (рис. 5.2). То же справедливо и для трехгранного угла. Такие «уголковые отражатели», в частности, были доставлены на поверхность Луны и при их помощи производились точные оптические измерения расстояния до нее.
Сферическое вогнутое зеркало (небольшая часть сферы радиусом R ), изображенное на рисунке 5.3, отразит луч SA, идущий по радиусу, в направлении того же радиуса. Луч SC , идущий под углом β к радиусу, отразится в направлении CD и пересечет первый луч в точкеF 1 . Условимся считать все расстояния вправо от зеркала положительными и введем обозначения:
Применяя теорему площадей к треугольникам SCF 1 , OCF 1 и SCO , находим:
(5.1)
Таким образом, положение точки F 1 зависит от угла падения β. Следовательно, в общем случае зеркало не обеспечит точечного изображения светящейся точки. Но если ограничиться пучками лучей, очень близкими к оси зеркала (прямой, проходящей через его центр и точечный источник), то выражение (5.1) примет вид:
(5.1)
свидетельствующий о создании точечного изображения. Этим приближением (осевые пучки) мы и будем пользоваться. Если светящаяся точка бесконечно удалена, так что от нее идет пучок лучей, параллельный оптической оси, то она отобразится в точке F , лежащей на расстоянии R /2 от зеркала (главное фокусное расстояние), и эта точка называется главным фокусом.
Выражение (5.2) можно переписать в виде
(5.3)
Это уравнение называют формулой зеркала. Из нее видно, что при приближении светящегося предмета АВ (рис. 5.4) из бесконечности к главному фокусу его изображение A 1 B 2 перемещается от главного фокуса до бесконечно удаленных точек. Если же светящийся предмет CD располагается между главным фокусом и зеркалом, то расстояние до его изображения С 1 D 1 делается отрицательным, т. е. изображение уходит за зеркало и образуется нереальными лучами, а их продолжениями - оно становится мнимым.
При этом действительные изображения оказываются перевернутыми, мнимые же -прямыми. -Отношение поперечных размеров #i изображения к поперечным размерам Н предмета называют увеличением:
Применяя такие же рассуждения к выпуклому сферическому зеркалу, убеждаемся, что его формула имеет тот же вид, но знак радиуса-вектора R отрицателен. Такое зеркало (рис. 5.5) дает только мнимые изображения. Естественно, что плоское зеркало может рассматриваться как предельный случай сферического при R→оо.
Так как условия отражения не зависят от длины волны, то сложный состав отражающегося света не вносит никаких осложнений. Поэтому широко распространены отражательные телескопы - рефлекторы.
В аналитической геометрии доказывается важное свойство параболы: совокупность лучей, идущих вдоль ее диаметров (т. е. параллельно оси параболы), отразившись от зеркальной дуги, совпадающей с параболой, пересекается в фокусе последней. Если вращать параболу вокруг ее оси, то образуется поверхность, называемая параболоидом вращения. Очевидно, он обладает таким же свойством: зеркальный параболоид соберет в фокусе широкий пучок параллельных лучей, распространяющихся в направлении его оси. Поэтому зеркала больших телескопов шлифуют по параболоиду. В силу принципа обратимости параболическое зеркало можно использовать для получения почти параллельного пучка света.
Найдем связь между оптической характеристикой и расстояниями, определяющими положение предмета и его изображения.
Пусть предметом служит некоторая точка А, располагающаяся на оптической оси. Используя законы отражения света, построим изображение этой точки (рис. 2.13).
Обозначим
расстояние от предмета до полюса зеркала
(АО),
а от полюса до изображения
(ОА).
Рассмотрим
треугольник АРС, получаем, что
Из треугольника
АРА, получаем, что
.
Исключим из этих выражений угол
,
так как единственный который не опирается
на ОР.
,
или
(2.3)
Углы ,,опираются на ОР. Пусть рассматриваемые пучки параксиальны, тогда эти углы малы и, следовательно, их значения в радианной мере равно тангенсу этих углов:
;
;
,
гдеR=OC,
является радиусом кривизны зеркала.
Подставим полученные выражения в уравнение (2.3)
Так как мы ранее выяснили, что фокусное расстояние связано с радиусом кривизны зеркала, то
(2.4)
Выражение (2.4) называется формулой зеркала, которая используется лишь с правилом знаков:
Расстояния
,
,
считаются положительными, если они
отсчитываются по ходу луча, и отрицательными
– в противном случае.
Выпуклое зеркало .
Рассмотрим несколько примеров на построение изображений в выпуклых зеркалах.
Фокус выпуклого зеркала мнимый. Формула выпуклого зеркала
.
Правило знаков для d и f остается таким же, как и для вогнутого зеркала.
Линейное увеличение предмета определяется отношением высоты изображения к высоте самого предмета
. (2.5)
Таким образом, независимо от расположения предмета относительно выпуклого зеркала изображение оказывается всегда мнимым, прямым, уменьшенным и расположенным за зеркалом. В то время как изображения в вогнутом зеркале более разнообразны, зависят от расположения предмета относительно зеркала. Поэтому вогнутые зеркала применяются чаще.
Рассмотрев принципы построения изображений в различных зеркалах, мы подошли к пониманию действия столь различных приборов, как астрономические телескопы и увеличивающие зеркала в косметических приборах и медицинской практике, мы способны сами спроектировать некоторые приборы.
Зеркальное отражение, диффузное отражение
Плоское зеркало.
Простейшей оптической системой является плоское зеркало. Если параллельный пучок лучей, падающий на плоскую поверхность раздела двух сред, после отражения остается параллельным, то отражение называется зеркальным, а сама поверхность называется плоским зеркалом (рис. 2.16).
Если отражающая поверхность шероховата, то отражение неправильное и свет рассеивается, или диффузно отражается (рис.2.19)
Диффузное отражение гораздо более приятно для глаза, чем отражение гладкими поверхностями, называемое правильным отражением.
Линзы.
Линзы, также как и зеркала являются оптическими системами, т.е. способны изменять ход светового луча. Линзы по форме могут быть различными: сферическими, цилиндрическими. Мы остановимся только на сферических линзах.
Прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями, называется линзой .
Собирающие линзы . Фокусом собирающей линзы называется точка, в которой пересекаются параллельные оптической оси лучи после преломления в линзе. Фокус собирающей линзы – действительный. Фокус, лежащий на главной оптической оси, называется главным фокусом. Любая линза имеет два главных фокуса: передний (со стороны падающих лучей) и задний (со стороны преломленных лучей). Плоскость, в которой лежат фокусы, называется фокальной плоскостью. Фокальная плоскость всегда перпендикулярна главной оптической оси и проходит через главный фокус. Расстояние от центра линзы до главного фокуса называется главным фокусным расстоянием F (рис.2.21).
Для построения изображений какой- либо светящейся точки следует проследить ход любых двух лучей, падающих на линзу и преломленных в ней до их пересечения (или пересечения их продолжения). Изображение протяженных светящихся предметов представляет собой совокупность изображений отдельных его точек. Наиболее удобными лучами, используемыми при построении изображений в линзах, являются следующие характерные лучи:
На рисунке 2.25 продемонстрировано построение изображения точки А предмета АВ.
Кроме перечисленных лучей при построении изображений в тонких линзах используют лучи, параллельные какой-либо побочной оптической оси. Следует иметь в виду, что лучи, падающие на собирающую линзу пучком, параллельным побочной оптической оси, пересекают заднюю фокальную поверхность в той же точке, что и побочная ось.
Формула тонкой линзы:
, (2.6)
где F - фокусное расстояние линзы; D - оптическая сила линзы; d - расстояние от предмета до центра линзы; f - расстояние от центра линзы до изображения. Правило знаков будет таким же, как и для зеркала: все расстояния до действительных точек считаются положительными, все расстояния до мнимых точек считаются отрицательными.
Линейное увеличение, даваемое линзой,
, (2.7)
где H - высота изображения; h - высота предмета.
Рассеивающие линзы . Лучи, падающие на рассеивающую линзу параллельным пучком, расходятся так, что их продолжения пересекаются в точке, называемоймнимым фокусом.
Правила хода лучей в рассеивающей линзе:
2)луч, идущий вдоль оптической оси, не меняет своего направления.
Формула рассеивающей линзы:
(правило знаков остается прежним).
На рисунке 2.27 приведен пример построения изображений в рассеивающих линзах.
