Цилиндром (прямым круговым цилиндром) называется тело, состоящее из двух кругов (оснований цилиндра), совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие при параллельном переносе точки этих кругов. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований, называются образующими цилиндра.
Вот другое определение:
Цилиндр - тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями, пересекающими образующие данной поверхности.
Цилиндрическая поверхность - поверхность, которая образуется движением прямой линии вдоль некоторой кривой. Прямую называют образующей цилиндрической поверхности, а кривую линию - направляющей цилиндрической поверхности.
Боковая поверхность цилиндра - часть цилиндрической поверхности, которая ограничена параллельными плоскостями.
Основания цилиндра - части параллельных плоскостей, отсекаемые боковой поверхностью цилиндра.
Рис.1 мини
Цилиндр называется прямым (См.Рис.1 ), если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае цилиндр называется наклонным .
Круговой цилиндр - цилиндр, основания которого являются кругами.
Прямой круговой цилиндр (просто цилиндр) – это тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. См.Рис.1 .
Радиус цилиндра – радиус его основания.
Образующая цилиндра - образующая цилиндрической поверхности.
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением .
Ось цилиндра параллельна его образующей и является осью симметрии цилиндра.
Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра . См.Рис.2 .
Развёртка боковой поверхности цилиндра - прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и длине окружности основания.
Площадь боковой поверхности цилиндра - площадь развёртки боковой поверхности. $$S_{бок}=2\pi\cdot rh$$ , где h – высота цилиндра, а r – радиус основания.
Площадь полной поверхности цилиндра - площадь, которая равна сумме площадей двух оснований цилиндра и его боковой поверхности, т.е. выражается формулой: $$S_{полн}=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , где h – высота цилиндра, а r – радиус основания.
Объем всякого цилиндра равен произведению площади основания на высоту: $$V = S\cdot h$$ Объем круглого цилиндра : $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , где (r - радиус основания).
Призма есть частный вид цилиндра (образующие параллельны боковым ребрам; направляющая - многоугольник, лежащий в основании). С другой стороны, произвольный цилиндр можно рассматривать как выродившуюся («сглаженную») призму с очень большим числом очень узких граней. Практически цилиндр неотличим от такой призмы. Все свойства призмы сохраняются и в цилиндре.
Цилиндр - это симметричная пространственная фигура, свойства которой рассматривают в старших классах школы в курсе стереометрии. Для его описания используют такие линейные характеристики, как высота и радиус основания. В данной статье рассмотрим вопросы касательно того, что такое осевое сечение цилиндра, и как рассчитать его параметры через основные линейные характеристики фигуры.
Геометрическая фигура
Сначала дадим определение фигуре, о которой пойдет речь в статье. Цилиндр представляет собой поверхность, образованную параллельным перемещением отрезка фиксированной длины вдоль некоторой кривой. Главным условием этого перемещения является то, что отрезок плоскости кривой принадлежать не должен.
На рисунке ниже показан цилиндр, кривая (направляющая) которого является эллипсом.
Здесь отрезок длиной h является его образующей и высотой.
Видно, что цилиндр состоит из двух одинаковых оснований (эллипсы в данном случае), которые лежат в параллельных плоскостях, и боковой поверхности. Последней принадлежат все точки образующих линий.
Перед тем как переходить к рассмотрению осевого сечения цилиндров, расскажем, какие типы этих фигур бывают.
Если образующая линия перпендикулярна основаниям фигуры, тогда говорят о прямом цилиндре. В противном случае цилиндр будет наклонным. Если соединить центральные точки двух оснований, то полученная прямая называется осью фигуры. Приведенный рисунок демонстрирует разницу между прямым и наклонным цилиндрами.
Видно, что для прямой фигуры длина образующего отрезка совпадает со значением высоты h. Для наклонного цилиндра высота, то есть расстояние между основаниями, всегда меньше длины образующей линии.
Осевое сечение прямого цилиндра
Осевым называется любое сечение цилиндра, которое содержит его ось. Это определение означает, что осевое сечение будет всегда параллельно образующей линии.
В цилиндре прямом ось проходит через центр круга и перпендикулярна его плоскости. Это означает, что рассматриваемое сечение круг будет пересекать по его диаметру. На рисунке показана половинка цилиндра, которая получилась в результате пересечения фигуры плоскостью, проходящей через ось.
Не сложно понять, что осевое сечение прямого круглого цилиндра представляет собой прямоугольник. Его сторонами являются диаметр d основания и высота h фигуры.
Запишем формулы для площади осевого сечения цилиндра и длины h d его диагонали:
Прямоугольник имеет две диагонали, но обе они равны друг другу. Если известен радиус основания, то не сложно переписать эти формулы через него, учитывая, что он в два раза меньше диаметра.
Осевое сечение наклонного цилиндра
Рисунок выше демонстрирует наклонный цилиндр, изготовленный из бумаги. Если выполнить его осевое сечение, то получится уже не прямоугольник, а параллелограмм. Его стороны - это известные величины. Одна из них, как и в случае сечения прямого цилиндра, равна диаметру d основания, другая же - длина образующего отрезка. Обозначим ее b.
Для однозначного определения параметров параллелограмма недостаточно знать его длины сторон. Необходим еще угол между ними. Предположим, что острый угол между направляющей и основанием равен α. Он же и будет углом между сторонами параллелограмма. Тогда формулу для площади осевого сечения наклонного цилиндра можно записать следующим образом:
Диагонали осевого сечения цилиндра наклонного рассчитать несколько сложнее. Параллелограмм имеет две диагонали разной длины. Приведем без вывода выражения, позволяющие рассчитывать диагонали параллелограмма по известным сторонам и острому углу между ними:
l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));
l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))
Здесь l 1 и l 2 - длины малой и большой диагоналей соответственно. Эти формулы можно получить самостоятельно, если рассмотреть каждую диагональ как вектор, введя прямоугольную систему координат на плоскости.
Задача с прямым цилиндром
Покажем, как использовать полученные знания для решения следующей задачи. Пусть дан круглый прямой цилиндр. Известно, что осевое сечение цилиндра - квадрат. Чему равна площадь этого сечения, если всей фигуры составляет 100 см 2 ?
Для вычисления искомой площади необходимо найти либо радиус, либо диаметр основания цилиндра. Для этого воспользуемся формулой для общей площади S f фигуры:
Поскольку сечение осевое представляет собой квадрат, то это означает, что радиус r основания в два раза меньше высоты h. Учитывая это, можно переписать равенство выше в виде:
S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2
Теперь можно выразить радиус r, имеем:
Поскольку сторона квадратного сечения равна диаметру основания фигуры, то для вычисления его площади S будет справедлива следующая формула:
S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)
Мы видим, что искомая площадь однозначно определяется площадью поверхности цилиндра. Подставляя данные в равенство, приходим к ответу: S = 21,23 см 2 .
Цилиндрическая поверхность m Некоторая прямая m двигаясь вдоль кривой описывает цилиндрическую поверхность. Если данная кривая - замкнута, то описывается замкнутая цилиндрическая поверхность. Если замкнутая кривая имеет форму круга, то описывается круговой цилиндр. Если прямая m перпендикулярна к плоскости кривой, то описывается прямой круговой цилиндр ВИДЫ ЦИЛИНДРОВ Эллиптический цилиндр ВИДЫ ЦИЛИНДРОВ Гиперболический цилиндр ВИДЫ ЦИЛИНДРОВ Параболлический цилиндр 26.07.2014 6 Определение цилиндра. Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Цилиндр Цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг прямой, содержащей любую его сторону Элементы цилиндра. Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Свойства цилиндра. 1) Основания равны и параллельны. 2) Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу Развёртка цилиндра Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник, одна сторона которого является высотой цилиндра, а другая длиной окружности основания Равносторонним цилиндром называется цилиндр осевым сечением которого является квадрат Сечения цилиндра. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси ─ прямоугольник. Две его стороны ─ образующие цилиндра, а две другие ─ параллельные хорды оснований. Сечение цилиндра, проходящее через ось цилиндра называется осевым сечением и, так же является прямоугольником. Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания. Касательная плоскость Если плоскость имеет с боковой поверхностью общую прямую, то эта плоскость называется касательной. Линией касания является образующая цилиндра Полная и боковая поверхности цилиндра Боковая поверхность цилиндра прямоугольник, одна сторона которого высота цилиндра, а другая длина окружности. Полная поверхность цилиндра состоит из двух кругов и боковой поверхности. L H 2 RH S боковой поверхност цилиндра и S круга R 2 R 2 RH 2 R (R H) 2 S круга S боковой S полной поверхност цилиндра 2 и поверхност цилиндра 2 и Объём цилиндра Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту цилиндра. V S основания V R 2 H H Объясните, что такое прямой круговой цилиндр? Что такое радиус, высота, образующая и ось цилиндра? Что такое осевое сечение цилиндра? Какой цилиндр называется равносторонним? Что является сечением цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра? Что понимаем под боковой и полной поверхностью цилиндра? Как найти боковую и полную поверхность цилиндра? ЭЛЕМЕНТЫ ЦИЛИНДРА Задача 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра. Дано: цилиндр, осевое сечение – квадрат Sсеч=Q Найти:Sосн =Sкруга Решение: Задача 2. Боковая поверхность цилиндра разворачивается в квадрат площадью 4 см2. Найти полную поверхность и объем цилиндра. Принять 3 Н lкруга Дано: цилиндр Sкв.=4см2 Найти: Sп.п., Vцил. Решение: Лабораторно-практическая работа Тема: Цилиндр 1. Определение, свойства. 2. Рисунок, размеры в мм. 3. Вычислить: а) площадь основания б) боковую поверхность цилиндра. в) полную поверхность цилиндра. г) объём цилиндра. Задачи Диагональ осевого сечения равна 48см. Угол между диагональю и образующей цилиндра равна 60o. Найти 1) высоту цилиндра; 2) радиус цилиндра; 3) Sосн Высота цилиндра равна 8см, радиус равен 5см. Найдите площадь сечения плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3см Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найдите площадь осевого сечения цилиндра. Цилиндр получен вращением квадрата со стороной α вокруг одной из его сторон. Найдите площадь: 1)осевого сечения цилиндра; 2) полной поверхности цилиндра Циліндр Оригінальність в дизайні та архітектурі Задача: На сколько увеличиться объем камеры сгорания двигателя автомобиля ГАЗ-53, если диаметр поршня 10 см, а ход поршня 9 см? Решение V=пR2H: V=3,14 52 9=706,5 (cm3) Задача Определить емкость масляного бака насоса гидроусилителя автомобиля ЗИЛ130, если диаметр его 126 мм,а высота 140 мм Решение V=пR2H=3,14. 3969 .140=174477,24
осевое сечение зубчатого колеса - осевое сечение Сечение зубчатого колеса плоскостью, проходящей через его ось. [ГОСТ 16530 83] Тематики передачи зубчатые Обобщающие термины поверхности и сечения зубчатого колесапонятия, относящиеся к зубчатому колесу Синонимы осевое сечение …
осевое сечение зубчатой рейки - осевое сечение Сечение косозубой зубчатой рейки в реечной передаче плоскостью, перпендикулярной ее делительной плоскости и содержащей ось парного зубчатого колеса или параллельной ей (3.1.3). [ГОСТ 16531 83] Тематики передачи зубчатые… … Справочник технического переводчика
осевое сечение витка - Сечение витка цилиндрического червяка плоскостью, проходящей через ось червяка. [ГОСТ 18498 89] Тематики передачи червячные Обобщающие термины элементы и параметры витка цилиндрического червяка … Справочник технического переводчика
Осевое сечение зубчатой рейки - 3.1.3. Осевое сечение зубчатой рейки Осевое сечение Сечение косозубой зубчатой рейки в реечной передаче плоскостью, перпендикулярной ее делительной плоскости и содержащей ось парного зубчатого колеса или параллельной ей (черт. 15). Источник: ГОСТ …
ГОСТ 16531-83: Передачи зубчатые цилиндрические. Термины, определения и обозначения - Терминология ГОСТ 16531 83: Передачи зубчатые цилиндрические. Термины, определения и обозначения оригинал документа: 5.3.1. Воспринимаемое смещение Разность межосевого расстояния цилиндрической зубчатой передачи со смещением и ее делительного… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Образование кристаллов из паров, р ров, расплавов, из в ва в тв. состоянии (аморфном или другом кристаллическом), из электролитов в процессе электролиза (электрокристаллизация), а также при хим. реакциях. Для К. необходимо нарушение термодинамич … Физическая энциклопедия
БЕЛЯВСКИЙ Илья Григорьевич - (1927 2004) русский и украинский психолог, докт. психол. наук (1985), проф. (1988). Окончил Киевский пед. ин т им. М. Горького (1950). Работал преподавателем в Конотопском учительском ин те (1950 1952); Житомирском пед. ин те (1952 1957); старшим … Психология общения. Энциклопедический словарь
РОДЫ - РОДЫ. Содержание: I. Определение понятия. Изменения в организме во время Р. Причины наступления Р..................... 109 II. Клиническое течение физиологических Р. . 132 Ш. Механика Р. ................. 152 IV. Ведение Р.................. 169 V … Большая медицинская энциклопедия
Устройства, предназначенные для формирования пучков эл нов, их фокусировки и создания электронно оптич. изображений объектов (см. ЭЛЕКТРОННАЯ И ИОННАЯ ОПТИКА, ЭЛЕКТРОННЫЙ МИКРОСКОП). Аналогичные устройства, в к рых используются пучки ионов, наз.… … Физическая энциклопедия
Коллекторный ТЭД электровозов ЧС2, ЧС3 Тяговый электродвигатель (ТЭД) … Википедия
ГОСТ 18097-93: Станки токарно-винторезные и токарные. Основные размеры. Нормы точности - Терминология ГОСТ 18097 93: Станки токарно винторезные и токарные. Основные размеры. Нормы точности оригинал документа: 4.7 Одновысотность оси вращения шпинделя передней бабки и оси отверстия пиноли (шпинделя) задней бабки Рисунок 8 Рисунок 9… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Цилиндр (круговой цилиндр) – тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, – образующими цилиндра.
Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях, а образующие цилиндра параллельны и равны. Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковую поверхность составляют образующие.
Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям основания. Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из сторон как оси. Существуют и другие виды цилиндра – эллиптический, гиперболический, параболический. Призму так же рассматривают, как разновидность цилиндра.
На рисунке 2 изображён наклонный цилиндр. Круги с центрами О и О 1 являются его основаниями.
Радиус цилиндра – радиус его основания. Высота цилиндра – расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведённому через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра.
Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.
Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, основания которой – равные многоугольники, вписанные в основания цилиндра. Её боковые рёбра являются образующими цилиндра. Призма называется описанной около цилиндра, если её основания - равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости её граней касаются боковой поверхности цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра можно вычислить, умножив длину образующей на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.
Площадь боковой поверхности прямого цилиндра можно найти по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой h и длиной P, которая равна периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:
В частности, для прямого кругового цилиндра:
P = 2πR, и S b = 2πRh.
Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований.
Для прямого кругового цилиндра:
S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)
Для нахождения объёма наклонного цилиндра существуют две формулы.
Можно найти объём, умножив длину образующей на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.
Объём наклонного цилиндра равен произведению площади основания на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания):
V = Sh = S l sin α,
где l – длина образующей, а α – угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра h = l.
Формула для нахождения объёма кругового цилиндра выглядит следующим образом:
V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,
где d – диаметр основания.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
