Следует помнить, что если в разветвлѐнной цепи число узлов n , то независимых уравнений по первому правилу можно написать для (n – 1 ) узлов. При применении второго правила каждый следующий контур надо выбирать так, чтобы он содержал хотя бы один участок цепи, не входивший в ранее рассмотренные контуры. Таким образом, используя формулы (3.145) и (3.146), получаем систему уравнений, которую и следует решить для нахождения неизвестных по условию задачи параметров разветвлѐнной цепи.

3.11 Классическая электронная теория электропроводности металлов

Носителями тока в металлах, как было экспериментально установлено, являются электроны. Исходя из представлений о наличии в металлах свободных электронов, Друде и Лоренц создали классическую электронную теорию проводимости металлов.

Существование в металлах свободных электронов можно объяснить тем, что при образовании кристаллической решѐтки в результате сближения атомов и взаимодействия между ними, сравнительно слабо связанные с ядром валентные электроны отрываются от атомов металла, становятся свободными и могут перемещаться по всему объѐму металла. Таким образом, в узлах кристаллической решѐтки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электроны. В классической электронной теории Друде – Лоренца электроны проводимости ведут себя подобно молекулам идеального газа, правда, в отличие от молекул идеального газа, электроны сталкиваются преимущественно не между собой, а с ионами кристаллической решѐтки. Эти столкновения приводят к установлению теплового равновесия между электронным газом и кристаллической решѐткой, и, следовательно, электронный газ имеет такую же температуру, как и весь металл. Распространяя на электронный газ результаты кинетической теории газов, среднюю скорость теплового движения электронов можно оценить по формуле:

где m e 9 , 1 10 31 кг - масса электрона. Для комнатной температуры

(Т ~ 300 К ) вычисление по формуле (3.147) даѐт значение 10 5 м/с .

При включении электрического поля на хаотическое тепловое движение электронов накладывается упорядоченное движение электронов

(возникает электрический ток) со средней скоростью u , которую можно оценить, исходя из формулы:

j en0 u .

Предельная допустимая плотность тока, например, для медных проводов составляет величину порядка 10 7 А/м 2 , а концентрация валентных электронов для меди n 0 ~ 10 29 м – 3 . Это даѐт для u 10 3 м/с . Таким

образом, u .

Друде считал, что при соударении электрона с узлом кристаллической решѐтки приобретаемая электроном на длине свободного пробега энергия

проводника однородно и под его действием электрон после столкновения движется с ускорением

и к концу свободного пробега приобретѐт в среднем скорость
где - среднее время между двумя последовательными					соударениями.

Друде не учитывал максвелловское распределение электронов по скоростям

приписывал всем

электронам

одинаковую

скорость равную

Следовательно

Средняя

длина свободного

электрона. Скорость

изменяется за время свободного пробега при a const линейно, поэтому

u max

2m e

Подставив это выражение в (3.148), получим:

ne2 E

и, вспоминая закон Ома в дифференциальной форме, получаем для удельной электропроводности:

Отметим, что в соответствии с классической теорией электропроводности, сопротивление металлов обусловлено столкновениями электронов с узлами–ионами кристаллической решѐтки. Для закона Джоуля– Ленца в дифференциальной форме Друде получил

используя тот факт, что на длине свободного пробега электрон приобретает дополнительную кинетическую энергию

			e 2 2
			2 m 2

которую он полностью передаѐт кристаллической решѐтке, а поскольку

соударений, то в единицу времени в единице объѐма должна выделяться энергия

				mu max2			E 2 ,

Лоренц впоследствии усовершенствовал теорию Друде, применив статистику Максвелла – Больцмана, и показал, что к тем же результатам можно прийти, считая соударения электронов с узлами решѐтки абсолютно

упругими, и получил для выражение:

			n2 e2

Классическая теория Друде – Лоренца не смогла объяснить целый ряд явлений, наблюдающихся на опыте. Так из опыта следует, что ~ T , а из

(3.154) следует, что ~ T . При оценке средней длины свободного пробега по формулам (3.154) и (3.158), подставляя туда экспериментальные

больше межатомного расстояния, т. е. приходится предположить, что электрон проходит без соударений с ионами решѐтки сотни межузельных расстояний. Наконец, для электронного газа классическая теория

предсказывала электронный вклад в молярную теплоѐмкость 3 2 R . Однако,

из эксперимента следует, что этот вклад в теплоѐмкость металлов оказывается ничтожно малым. Перечисленные недостатки удалось преодолеть только в квантовомеханической теории электропроводности.

Классическая теория электропроводности металлов зародилась в начале ХХ века. ЕЕ основоположником стал немецкий физик Карл Рикке. Он опытным путем установил, что прохождение заряда через металл не сопряжено с переносом атомов проводника, в отличие от жидких электролитов. Однако это открытие не объяснило, что именно является носителем электрических импульсов в структуре металла.

Ответить на это вопрос позволили опыты ученых Стюарта и Толмена, проведенные в 1916 году. Им удалось установить, что за перенос электричества в металлах отвечают мельчайшие заряженные частицы - электроны. Это открытие легло в основу классической электронной теории электропроводности металлов. С этого момента началась новая эпоха исследований металлических проводников. Благодаря полученным результатам мы сегодня имеем возможность пользоваться бытовыми приборами, производственным оборудованием, станками и многими другими устройствами.

Как отличается электропроводность разных металлов?

Электронная теория электропроводности металлов получила развитие в исследованиях Паулю Друде. Он сумел открыть такое свойство как сопротивление, которое наблюдается при прохождении электрического тока через проводник. В дальнейшем это позволит классифицировать разные вещества по уровню проводимости. Из полученных результатов легко понять, какой металл подойдет для изготовления того или иного кабеля. Это очень важный момент, так как неправильно подобранный материал может стать причиной возгорания в результате перегрева от прохождения тока избыточного напряжения.

Наибольшей электропроводностью обладает металл серебро. При температуре +20 градусов по Цельсию она составляет 63,3*104 сантиметров-1. Но изготавливать проводку из серебра очень дорого, так как это довольно редкий металл, который используется в основном для производства ювелирных и декоративных украшений или инвестиционных монет.

Металл, обладающий самой высокой электропроводностью среди всех элементов неблагородной группы - медь. Ее показатель составляет 57*104 сантиметров-1 при температуре +20 градусов по Цельсию. Медь является одним из наиболее распространенных проводников, которые используются в бытовых и производственных целях. Она хорошо выдерживает постоянные электрические нагрузки, отличается долговечностью и надежностью. Высокая температура плавления позволяет без проблем работать долгое время в нагретом состоянии.

По распространенности с медью может конкурировать только алюминий, который занимает четвертое место по электропроводности после золота. Он используется в сетях с невысоким напряжением, так как имеет почти вдвое меньшую температуру плавления, чем медь, и не способен выдерживать предельные нагрузки. С дальнейшим распределением мест можно ознакомиться, взглянув на таблицу электропроводности металлов.

Стоит отметить, что любой сплав обладает гораздо меньшей проводимостью, чем чистое вещество. Это связано со слиянием структурной сетки и как следствие нарушением нормального функционирования электронов. Например, при производстве медного провода используется материал с содержанием примесей не более 0,1%, а для некоторых видов кабеля этот показатель еще строже - не более 0,05%. Все приведенные показатели являются удельной электропроводностью металлов, которая рассчитывается как отношение между плотностью тока и величиной электрического поля в проводнике.

Классическая теория электропроводности металлов

Основные положения теории электропроводности металлов содержат шесть пунктов. Первый: высокий уровень электропроводности связан с наличием большого числа свободных электронов. Второй: электрический ток возникает путем внешнего воздействия на металл, при котором электроны из беспорядочного движения переходят в упорядоченное.

Третий: сила тока, проходящего через металлический проводник, рассчитывается по закону Ома. Четвертый: различное число элементарных частиц в кристаллической решетке приводит к неодинаковому сопротивлению металлов. Пятый: электрический ток в цепи возникает мгновенно после начала воздействия на электроны. Шестой: с увеличением внутренней температуры металла растет и уровень его сопротивления.

Природа электропроводности металлов объясняется вторым пунктом положений. В спокойном состоянии все свободные электроны хаотическим образом вращаются вокруг ядра. В этот момент металл не способен самостоятельно воспроизводить электрические заряды. Но стоит лишь подключить внешний источник воздействия, как электроны мгновенно выстраиваются в структурированной последовательности и становятся носителями электрического тока. С повышением температуры электропроводность металлов снижается.

Это связано с тем, что слабеют молекулярные связи в кристаллической решетке, элементарные частицы начинают вращаться в еще более хаотичном порядке, поэтому построение электронов в цепь усложняется. Поэтому необходимо принимать меры по недопущению перегрева проводников, так как это негативно сказывается на их эксплуатационных свойствах. Механизм электропроводности металлов невозможно изменить ввиду действующих законов физики. Но можно нивелировать негативные внешние и внутренние воздействия, которые мешают нормальному протеканию процесса.

Металлы с высокой электопроводностью

Электропроводность щелочных металлов находится на высоком уровне, так как их электроны слабо привязаны к ядру и легко выстраиваются в нужной последовательности. Но эта группа отличается невысокими температурами плавления и огромной химической активностью, что в большинстве случаев не позволяет использовать их для изготовления проводов.

Металлы с высокой электропроводностью в открытом виде очень опасны для человека. Прикосновение к оголенному проводу приведет к получению электрического ожога и воздействию мощного разряда на все внутренние органы. Зачастую это влечет мгновенную смерть. Поэтому для безопасности людей используются специальные изоляционные материалы.

В зависимости от сферы применения они могут быть твердыми, жидкими и газообразными. Но все типы предназначены для одной функции - изоляции электрического тока внутри цепи, чтобы он не мог оказывать воздействие на внешний мир. Электропроводность металлов используется практически во всех сферах современной жизни человека, поэтому обеспечение безопасности является первоочередной задачей.

С позиций классической электронной теории высокая электропроводность металлов обусловлена наличием огромного числа свободных электронов, движение которых подчиняется законам классической механики Ньютона. В этой теории пренебрегают взаимодействием электронов между собой, а взаимодействие их с положительными ионами сводят только к соударениям. Иными словами, электроны проводимости рассматриваются как электронный газ, подобный одноатомному, идеальному газу. Такой электронный газ должен подчи­няться всем законам идеального газа. Следовательно, средняя кинетическая энергия теплового движения электрона будет равна , где - масса электрона, - его среднеквадратичная скорость, k - постоянная Больцмана, Т - термодинамическая температура. Отсюда при Т=300 К среднеквад­ратичная скорость теплового движения электронов »10 5 м/с.

Хаотичное тепловое движение электронов не может привести к возникнове­нию электрического тока, но под действием внешнего электрического поля в проводнике возникает упо­рядоченное движение электронов со скоростью . Оценить величину можно из ранее выведенного соотношения , где j - плотность тока, - концентрация электронов, e - заряд электрона. Как по­казывает расчет, »8×10 -4 м/с. Чрезвычайно малое значение величины по сравнению с величиной объясняется весьма частыми столкновениями электронов с ионами решетки. Каза­лось бы, полученный результат для противоречит тому факту, что передача электрического сигнала на очень большие расстояния происходит практически мгновенно. Но дело в том, что замыкание электрической цепи влечет за собой распро­странение электрического поля со скоростью 3×10 8 м/с (скорость света). Поэтому упорядоченное движение электронов со скоростью под действием поля возникнет практически сразу же на всем протяжении цепи, что и обеспечивает мгновенную передачу сиг­нала.

На базе классической электронной теории были выведены рассмотренные выше основные законы электрического тока - законы Ома и Джоуля-Ленца в диф­фе­ренциальной форме и . Кроме того, классическая теория дала качественное объяснение закону Видемана-Франца. В 1853 г. И.Видеман и Ф.Франц установили, что при определенной темпе­ра­туре отношение коэффициента теплопроводности l к удельной проводимости g оди­наково для всех металлов. Закон Видемана-Франца имеет вид , где b - постоянная, не зависящая от природы металла. Классическая электронная теория объясняет и эту закономерность. Электр­оны проводимости, перемещаясь в металле, переносят с собой не только электриче­ский заряд, но и кинетическую энергию беспорядочного теплового движения. Поэтому те метал­лы, кото­рые хорошо проводят электрический ток, являются хорошими проводни­ками тепла. Классическая электронная теория качественно объяснила природу электриче­с­кого сопротивления металлов. Во внешнем поле упорядоченное движение элек­тронов нарушается их соударениями с положительными ионами решетки. Между двумя столкновениями электрон движется ускоренно и приобретает энергию, кото­рую при последующем столкновении отдает иону. Можно считать, что движение электрона в металле происходит с трением, подобным внутреннему трению в газах. Это трение и создает сопротивление металла.

Вместе с тем классическая теория встретилась с су­щественными затруднениями. Перечислим некоторые из них:

1. Несоответствие теории и эксперимента возникло при расчете теплоемко­сти металлов. Согласно кинетической теории молярная теплоемкость металлов должна складываться из теплоемкости атомов и теплоемкости свободных электронов. Так как атомы в твердом теле совершают только колебательные движения, то их молярная теплоемкость равна С=3R (R=8.31 Дж/(моль×К) - молярная газовая постоянная); свободные электроны двигаются только поступательно и их молярная теплоемкость равна С=3/2R. Общая теплоемкость должна быть С»4.5R , но согласно опытным данным С=3R.

2. По расчетам электронной теории, сопротивление R должно быть пропор­цио­нальным , где Т - термодинамическая температура. Согласно опытным дан­ным, R~Т.

3. Полученные опытным путем значения электропроводности g дают для сред­ней длины свободного пробега электронов в металлах величину порядка сотен меж­доузельных расстояний. Это гораздо больше, чем по классической теории.

Расхождение теории с опытом объясняется тем, что движение электронов в ме­талле подчиняется не законам классической механики, а законам квантовой ме­ханики. Достоинством классической электронной теории являются простота, на­глядность и правильность многих качественных ее результатов.

Согласно теории Друде-Лоренца носителями тока в металлах являются свободные электроны, что объясняет высокую электропроводность металлов. Ионы в процессе протекания тока через металл участия не принимают. Если бы это было так, то протекание тока через металл сопровождалось переносом вещества. В действительности этого не наблюдается (опыт Рикке).

Основные положения классической электронной теории металлов следующие :

1. Металлы имеют кристаллическую решётку, в узлах которой находятся положительные ионы (рис.14.1). Эти ионы не могут перемещаться по кристаллу, а испытывают лишь небольшие колебания около своих положений равновесия.

2. Между узлами кристаллической решётки движутся свободные электроны, называемые электронами проводимости .

3. При наличии внешнего электрического поля Е на хаотическое движение свободных электронов накладывается их упорядоченное (направленное) движение – так называемый дрейф электронов в определённом направлении.

4. Электроны проводимости при своём движении сталкиваются с ионами решётки, столкновения между электронами проводимости не учитывается.

5. Внешнее поле не влияет на концентрацию носителей тока и среднее время их свободного пробега.

§ 14.2 Закон Ома и Джоуля-Ленца в классической электронной теории

Согласно закону равномерного распределения энергии по степеням свободы, на один электрон приходится средняя кинетическая энергия теплового движения

(k - постоянная Больцмана, Т – температура (на каждую степень свободы приходится энергия, равная , электрон рассматривается как материальная точка; следовательно, свободный электрон обладает тремя степенями свободы)).

При тепловом движении электроны испытывают соударения.

Путь, проходимый электронами между двумя последовательными соударениями, называют длиной свободного пробега <ℓ> (рис.14.2).

Предположим, что при каждом соударении электрон полностью передаёт свою энергию ионам решётки и начальная скорость последующего движения электрона равна нулю.

Если по проводнику течёт постоянный ток, то внутри проводника существует электрическое поле, напряжённостью Е . На каждый электрон со стороны электрического поля действует сила F =eE , где е – заряд электрона. Под действием этой силы электрон приобретает ускорение а , которое можно определить из равенства m e a =еЕ, откуда

(14.1)

(m e - масса электрона).

Если < t > – среднее время между двумя последовательными соударениями, то к концу свободного пробега электрон приобретает скорость

(14.2)

Средняя скорость упорядоченного движения электронов

(14.3)

(начальная скорость считается равной нулю, поэтому движение равноускоренное).

Среднее время между двумя последовательными соударениями можно определит, если знать длину свободного пробега и среднюю скорость теплового движения < υ τ > :

(14.4)

Вообще,
, но соотношение (14.4) справедливо, так как уже было показано, что

Подставив <ℓ> из (3.99) в формулу (3.98), получим

(14.5)

Подставив в формулу j = ne< υ > (13.37) , получим

(14.6)

(14. 7)

- удельная проводимость материала проводника (величина, обратная его удельному сопротивлению)).

Единица удельной проводимости – сименс на метр (См/м)

Из выражения (3.101), представляющего закон Ома, следует: плотность тока пропорциональна напряжённости электрического поля, что совпадает с (3.81).

Из формулы (3.101) легко получить закон Ома в виде
, для этого её правую и левую части надо умножить наS – площадь поперечного сечения проводника. Учитывая, что
, получаем
, но
, а
(поле внутри проводника длиной ℓ считаем однородным); следовательно,

(14.8)

План лекции

5.1. Классическая теория электропроводности металлов.

5.2. Вывод закона Ома и закона Джоуля - Ленца.

5.3. Недостатки классической теории электропроводности металлов.

Классическая теория электропроводности металлов

Любая теория считается законченной, только если в ней прослежен путь от элементарного механизма явления до найденных в ней макросоотношений, использующихся в технической практике. В данном случае неодолимо было связать особенности упорядоченного движения свободных зарядов в проводнике (электропроводимость) с основными законами электрического тока. Прежде всего необходимо было выяснить природу носителей тока в металлах. Основополагающими в этом смысле явились опыты Рикке 1 , в которых в течение длительного времени (≈ год) ток пропускался через три последовательно соединенных металлических цилиндра (Сu, А1, Сu ) одинакового сечения с тщательно отшлифованными притертыми торцами. Через эту цепь протек огромный заряд (≈ 3,5·10 6 Кл). Несмотря на это, не было обнаружено никаких (даже микроскопических) следов переноса вещества из цилиндра в цилиндр (что подтверждалось тщательным взвешиванием). Отсюда был сделан вывод, что в металлах в процессе переноса электрического заряда участвуют какие-то частицы, общие (одинаковые) для всех металлов.

Природу таких частиц можно было определить по знаку и величине удельного заряда (отношения заряда носителя к его массе) - параметру индивидуальному для любой из известных сегодня микрочастиц. Идея такого эксперимента заключается в следующем: при резком торможении металлического проводника слабо связанные с решеткой носители тока должны по инерции смещаться вперед. Результатом такого смещения является импульс тока, а по направлению тока можно определить знак носителей и, зная размеры и сопротивление проводника, можно вычислить и удельный заряд носителей. Такие эксперименты дали значения отношения , что совпало с удельным зарядом электронов. Таким образом, было окончательно доказано, что носителями электрического тока в металлах являются свободные электроны. При образовании кристаллической решетки металла (при сближении изолированных атомов) слабо связанные с ядрами валентные электроны отрываются от атомов металла, становятся «свободными» и могут перемещаться по всему объему. Таким образом, в узлах кристаллической решетки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электроны.

Основоположники классической теории электропроводности металлов Друде 2 и Лоренц 3 впервые показали, что любое множество невзаимодействующих микрочас-

Рикке Карл Виктор Эдуард (1845 – 1915), немецкий физик

2 Друде Пауль Карл Людвиг (1863 – 1906), немецкий физик

3 Лоренц Хендрик Антон (1853 – 1928), нидерландский физик-теоретик

тиц (в том числе свободные электроны в металле) можно рассматривать как идеальный газ, то есть к свободным электронам в металле применимы все выводы молекулярно-кинетической теории.

Электроны проводимости при своем движении сталкиваются с ионами решетки, в результате чего устанавливается термодинамическое равновесие между идеальным газом свободных электронов и решеткой. Среднюю скорость свободных электронов можно найти в соответствии с выражением для средней арифметической скорости хаотического теплового движения молекул идеального газа (см. формулу (8.26) в лекции 8, часть I):

которая при комнатных температурах (Т ≈ 300 К) дает <u > = 1,1·10 5 м/с.

При наложении внешнего электрического поля на проводник кроме теплового движения электронов возникает и их упорядоченное движение, то есть электрический ток. Среднюю скорость упорядоченного движения электронов - <v > можно определить согласно (4.4). При максимально допустимой плотности тока в реальных проводниках (≈ 10 7 А/м 2) количественная оценка дает <v > ≈ 10 3 -10 4 м/с. Таким образом, даже в предельных случаях средняя скорость упорядоченного движения электронов (обуславливающего электрический ток) значительно меньше их скорости хаотического теплового движения (<v > << <u >). Поэтому при вычислениях результирующей скорости можно считать, что (<v > + <u >) ≈ <u >. Выше уже отмечалось, что конечной целью классической теории электропроводности металлов является вывод основных закономерностей электрического тока, исходя из рассмотренного элементарного механизма движения носителей тока. В качестве примера, рассмотрим, как это было сделано, при выводе закона Ома в дифференциальной форме.

5.2. Вывод закона Ома и закона Джоуля – Ленца

Пусть в металлическом проводнике существует электрическое поле с напряженностью . Со стороны поля электрон испытывает действие кулоновской силы F = eE и приобретает ускорение . Согласно теории Друде в конце длины свободного пробега <l > электрон, сталкивается с ионом решетки, отдает накопленную при движении в поле энергию (скорость его упорядоченного движения становится равной нулю). Двигаясь равноускоренно электрон, приобретает к концу свободного пробега скорость , где - среднее время между двумя последовательными столкновениями электрона с ионами решетки. Средняя скорость направленного движения электрона равна

Так как (<v > + <u >) ≈ <u >, то и (5.1) принимает вид . Таким образом, плотность тока, согласно (4.4), можно представить как

. (5.2)

Сравнивая это выражение с законом Ома в дифференциальной форме, можно увидеть, что эти выражения тождественны при условии, что удельная проводимость

Таким образом, в рамках классической теории электропроводности металлов и был выведен закон Ома в дифференциальной форме.

Аналогично был выведен и закон Джоуля - Ленца, получена количественная связь между удельной проводимостью и теплопроводностью с учетом того, что в металлах перенос электричества и теплоты осуществляется одними и теми же частицами (свободными электронами) и ряд других соотношений.