Данный урок поможет желающим получить представление о теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей». В начале него мы повторим определение двугранного и линейного угла. Затем рассмотрим, какие плоскости называются перпендикулярными, и докажем признак перпендикулярности двух плоскостей.
Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей
Урок: Признак перпендикулярности двух плоскостей
Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, не принадлежащими одной плоскости, и их общей прямой а (а - ребро).
Рис. 1
Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 1). Их общая граница - l. Указанная фигура называется двугранным углом. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.
Двугранный угол измеряется своим линейным углом. На общем ребре l двугранного угла выберем произвольную точку. В полуплоскостях α и β из этой точки проведем перпендикуляры a и b к прямой l и получим линейный угол двугранного угла.
Прямые a и b образуют четыре угла, равных φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Напомним, углом между прямыми называется наименьший из этих углов.
Определение. Углом между плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. φ - угол между плоскостями α и β, если
Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°.
Рис. 2
На ребре l выбрана произвольная точка М (рис. 2). Проведем две перпендикулярные прямые МА = а и МВ = b к ребру l в плоскости α и в плоскости β соответственно. Получили угол АМВ. Угол АМВ - это линейный угол двугранного угла. Если угол АМВ равен 90°, то плоскости α и β называются перпендикулярными.
Прямая b перпендикулярна прямой l по построению. Прямая b перпендикулярна прямой а, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и l из плоскости α. Значит, прямая b перпендикулярна плоскости α.
Аналогично можно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости β. Прямая а перпендикулярна прямой l по построению. Прямая а перпендикулярна прямой b, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и l из плоскости β. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости β.
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Доказать:
Рис. 3
Доказательство:
Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой АС (рис. 3). Чтобы доказать, что плоскости взаимно перпендикулярны, нужно построить линейный угол между ними и показать, что этот угол равен 90°.
Прямая АВ перпендикулярна по условию плоскости β, а значит, и прямой АС, лежащей в плоскости β.
Проведем прямую АD перпендикулярно прямой АС в плоскости β. Тогда ВАD -линейный угол двугранного угла.
Прямая АВ перпендикулярна плоскости β, а значит, и прямой АD, лежащей в плоскости β. Значит, линейный угол ВАD равен 90°. Значит, плоскости α и β перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (рис. 4).
Доказать:
Рис. 4
Доказательство:
Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость α проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости α и γ перпендикулярны.
Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость β проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости β и γ перпендикулярны.
Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, и не принадлежащими одной плоскости.
Определение. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера любого из его линейных углов.
Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 o .
Признак перпендикулярности двух плоскостей.
Свойства.
- В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней представляют собой прямоугольники.
- Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда являются прямыми
- Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Задачи и тесты по теме "Тема 7. "Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей"."
- Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
- Перпендикулярность прямой и плоскости - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1
- Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 2 Заданий: 10 Тестов: 1
- Параллельность плоскостей - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 8 Тестов: 1
- Перпендикулярные прямые - Начальные геометрические сведения 7 класс
Уроков: 1 Заданий: 17 Тестов: 1
Материал темы обобщает и систематизирует известные Вам из планиметрии сведения о перпендикулярности прямых. Изучение теорем о взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, а также материал о перпендикуляре и наклонных целесообразно сочетать с систематическим повторением соответствующего материала из планиметрии.
Решения практически всех задач на вычисление сводятся к применению теоремы Пифагора и следствий из нее. Во многих задачах возможность применения теоремы Пифагора или следствий из нее обосновывается теоремой о трех перпендикулярах или свойствами параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Тема урока: «Признак перпендикулярности двух плоскостей»
Тип урока: Урок изучения нового материала
Формируемые результаты:
Предметные: ввести понятие угла между плоскостями, познакомить учащихся с определением перпендикулярных плоскостей, признаком перпендикулярности двух плоскостей, формировать умение применять его при решении задач.
Личностные: развивать познавательный интерес к геометрии, формировать умение представлять результат своей деятельности.
Метапредметные: формировать умение ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе и познавательной деятельности.
Планируемые результаты: учащийся научится применять новую теорему при решении несложных задач.
Оборудование: доска, готовые рисунки (слайд-фильм), модели, изготовленные учащимися и учителем, текст задачи на печатной основе.
Cлова Пойа Д.:
Подробнее во вложении
Скачать:
Предварительный просмотр:
Урок геометрии в 10 классе.
Тема урока: «Признак перпендикулярности двух плоскостей»
Тип урока: Урок изучения нового материала
Формируемые результаты:
Предметные: ввести понятие угла между плоскостями, познакомить учащихся с определением перпендикулярных плоскостей, признаком перпендикулярности двух плоскостей, формировать умение применять его при решении задач.
Личностные: развивать познавательный интерес к геометрии, формировать умение представлять результат своей деятельности.
Метапредметные: формировать умение ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе и познавательной деятельности.
Планируемые результаты: учащийся научится применять новую теорему при решении несложных задач.
Оборудование: доска, готовые рисунки (слайд-фильм), модели, изготовленные учащимися и учителем, текст задачи на печатной основе.
Cлова Пойа Д.: «Нужно всеми средствами обучать искусству доказывать, не забывая при этом и об искусстве догадываться».
1. Оргмомент.
2. Проверка домашнего задания.
1)Ученик с моделью двугранного угла рассказывает, как образуется его линейный угол; дает определение градусной меры двугранного угла.
2) Задача №1. (Слайд 2) – по рисунку.
3) Задача №2. (Слайд 3) – по рисунку.
К этим задачам вернемся позже перед доказательством признака.
3. Актуализация знаний.
1) Рассказ ученика о пересекающихся плоскостях (используется модель).
2) Определение перпендикулярных плоскостей (использует модель), примеры.
Вернемся к домашним задачам. Было установлено, что в обоих случаях двугранные углы равны 90°, т.е. являются прямыми. Посмотрим, какие символы нужно вставить вместо точек и сделаем вывод о взаимном расположении плоскостей (слайд 4).
(AFC) FO (ADC)
(AFC) (ADC).
Выясним, можно ли без нахождения двугранного угла сделать вывод о перпендикулярности плоскостей?
Обратите внимание на связь (слайд 5):
(DCC₁) DD₁ (ABC) (DCC₁) (ABC) и
(AFC) FO (ADC) (AFC) (ADC)
Формулирование предположения учащимися.
4. Изучение нового материала.
1). Сообщение темы урока: «Признак перпендикулярности двух плоскостей».
2). Формулировка теоремы (учебник): «Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны» ; показ на модели.
3). Доказательство проводится по заранее заготовленному чертежу (рис.62).
Дано: α, β – плоскости; α АВ β; АВ ∩ β = А
Доказать: α β.
Доказательство: 1) α ∩ β = АС
2) АВ АС (?)
3) Построим АD β; АD АС
4) L BAD - ……….. , L BAD = …. ° (?)
5) L (α, β) = 90°, т.е. α β.
5. Первичное закрепление (ПЗ).
1). Решение задачи 1 на готовом чертеже (слайд 6).
Дано: DА
Доказать: (DАС)
2). Решение задачи 2 на готовом чертеже + у каждого заготовленный вырезанный ромб (слайд 7).
Дано: АВСД – ромб;
Перегибаем по диагонали:
ВО
Докажи: (АВС)
3). Задача 3. «Слепой» текст на печатной основе (слайды 8-9).
Дано: рисунок; двугранный угол ВАСД – прямой.
Найди: ВД
Самостоятельно. Проверка.
6. Итоги урока. Информация о домашнем задании.
Ðассматривается отношение перпендикулярности плоскостей - одно из важнейших и наиболее используемых в геометрии пространства и ее приложениях.
Из всего разнообразия взаимного расположения
двух плоскостей особого внимания и изучения заслуживает то, при котором плоскости перпендикулярны друг другу (например, плоскости смежных стен комнаты,
забора и участка земли, двери и пола и т. п. (рис. 417, а–в).
Приведенные примеры позволяют увидеть одно из основных свойств отношения, которое мы будем изучать, - симметричность расположения каждой из плоскостей относительно другой. Симметрия обеспечивается тем, что плоскости вроде бы «сотканы» из перпендикуляров. Попробуем уточнить эти наблюдения.
Пусть имеем плоскость α и прямую с на ней (рис. 418, а). Проведем через каждую точку прямойс прямые, перпендикулярные плоскости α. Все эти прямые параллельны между собой (почему?) и составляют, на основании задачи 1 § 8, некоторую плоскость β (рис. 418, б). Естественно назвать плоскость βперпендикуляр ной плоскости α.
В свою очередь, все прямые, лежащие в плоскости α и перпен- дикулярные прямойс , образуют плоскость α и перпендикулярны плоскости β (рис. 418, в). Действительно, еслиа - произвольная такая прямая, то она пересекает прямуюс в некоторой точкеМ . Через точкуМ проходит в плоскости β перпендикулярная α пря- маяb , поэтомуb а . Следовательно,а с, а b , поэтомуа β. Таким образом, плоскость α перпендикулярна плоскости β, а пря- маяс является линией их пересечения.
Две плоскости называются перпендикулярными, если каждая из них образована прямыми, перпенди кулярными второй плоскости и проходящими через точки пересечения этих плоскостей.
Перпендикулярностьплоскостейαиβобоз- начается привычным уже знаком: α β.
Одну из иллюстраций этого определения можно представить, если рассмотреть фраг- мент комнаты дачного домика (рис. 419). В нем пол и стена сложены из досок, перпен- дикулярных соотвественно стене и полу. По- этому они перпендикулярны. На практике
это означает, что пол горизонтален, а стена вертикальна.
Приведенное определение трудно использовать при фактичес- кой проверке перпендикулярности плоскостей. Но если внима- тельно проанализировать рассуждения, которые привели к этому определению, то видим, что перпендикулярность плоскостей α и β обеспечило наличие в плоскости β прямойb , перпендикулярной плоскости α (рис. 418, в). Мы пришли к признаку перпендику- лярности двух плоскостей, который чаще всего применяется на практике.
406 Перпендикулярность прямых и плоскостей
Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей).
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную второй плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Пусть плоскость β проходит через прямуюb , перпендику- лярную плоскости α ис - линия пересечения плоскостей α и β (рис. 420, а). Все прямые плоскости β, параллельные прямойb и пересекающие прямуюс , вместе с прямойb образуют плоскость β. По теореме о двух параллельных прямых, одна из которых пер- пендикулярна плоскости (теорема 1 § 19), все они вместе с прямойb перпендикулярны плоскости α. То есть плоскость β состоит из прямых, проходящих через линию пересечения плоскостей α и β и перпендикулярных плоскости α (рис. 420, б).
Теперь в плоскости α через точку А пересечения прямыхb ис проведем прямуюа , перпендикулярную прямойс (рис. 420, в). Прямаяа перпендикулярна плоскости β, по признаку перпен- дикулярности прямой и плоскости (а с , по построению,а b , так какb α). Повторив предыдущие рассуждения, получим, что плоскость α состоит из прямых, перпендикулярных плоскости β, проходящих через линию пересечения плоскостей. Согласно оп- ределению, плоскости α и β перпендикулярны.■
Приведенный признак дает возможность устанавливать пер- пендикулярность плоскостей или же обеспечивать ее.
П р и м е р 1 . Прикрепить щит к столбу так, чтобы он был распо- ложен вертикально.
Если столб стоит вертикально, то достаточно приложить произвольно щит к столбу и закрепить его (рис. 421, а). Согласно рассмотренному выше признаку, плоскость щита будет перпенди- кулярна поверхности земли. В этом случае задача имеет беско- нечное множество решений.
Перпендикулярность плоскостей | ||
Если же столб стоит наклонно к земле, то достаточно к столбу прикрепить вертикальную рейку (рис. 421, б), а затем щит при- крепить и к рейке, и к столбу. В этом случае положение щита бу- дет вполне определённым, поскольку столб и рейка определяют единственную плоскость.■
В предыдущем примере «техническое» задание свелось к мате- матической задаче о проведении через данную прямую плоскос- ти, перпендикулярной другой плоскости.
П р и м е р 2 . Из вершиныA квадратаABCD проведен перпен- дикулярный его плоскости отрезокAK, AB = AK = а.
1) Определить взаимное расположение плоскостей AKC иABD ,
AKD и ABK.
2) Построить плоскость, проходящую через прямую BD перпенди- кулярно плоскостиABC.
3) Провести через середину F отрезкаKC плоскость, перпендику- лярную плоскостиKAC .
4) Найти площадь треугольника BDF.
Построим рисунок, соответствующий условию примера (рис. 422).
1) Плоскости AKC иABD перпендикуляр- ны, по признаку перпендикулярности плос- костей (теорема 1):AK ABD , по условию. ПлоскостиAKD иABK также перпендику-
лярны, по признаку перпендикулярности плоскостей (теорема 1). Действительно, прямаяAB , через кото- рую проходит плоскостьABK , перпендикулярна плоскостиAKD , по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18):AВ AD , как смежные стороны квадрата;AВ AK , так как
AK ABD.
2) По признаку перпендикулярности плоскостей, для искомого построениядостаточночерезнекоторуюточкупрямойBD провести
408 Перпендикулярность прямых и плоскостей
прямую, перпендикулярную плоскости ABC. А для этого достаточ- но через эту точку провести прямую, параллельную прямойAK.
Действительно, по условию, прямая AK перпендикулярна плос- костиABC и потому, согласно теореме о двух параллельных пря-
мых,однаизкоторыхперпендикулярнаплоскости(теорема1§19), |
|||||||||||||||||
построенная прямая будет перпендикулярна плоскости ABC. |
|||||||||||||||||
Построение. | Через точку | B проводим | |||||||||||||||
ВЕ, | параллельную | ||||||||||||||||
(рис. 423). Плоскость BDE - искомая. | |||||||||||||||||
3) Пусть F - середина отрезкаKC. Про- | |||||||||||||||||
ведем через точку | перпендику- | ||||||||||||||||
плоскости | Этой прямой бу- | ||||||||||||||||
дет прямая | FO , где | О - центр квадрата | |||||||||||||||
ABCD (рис. 424). Действительно,FO ||AK , | |||||||||||||||||
как средняя | линия треугольника | ||||||||||||||||
Поскольку | перпендикуляр- | ||||||||||||||||
на плоскости | прямая FO | бу- | |||||||||||||||
дет ей перпендикулярна, по теореме о | |||||||||||||||||
двух параллельных прямых, одна из кото- | |||||||||||||||||
рых перпендикулярна плоскости (теорема 1 | |||||||||||||||||
§ 19). Поэтому | FO DB. А поскольку AC DB,то DB AOF(или |
||||||||||||||||
KAC). Плоскость | BDF проходит через прямую, перпендикуляр- |
||||||||||||||||
ную плоскости KAC, то есть она является искомой. | |||||||||||||||||
4) В треугольнике | BDF отрезокFO | Высота, проведенная к |
|||||||||||||||
стороне BD (см. рис. 424). Имеем:BD = | 2 a , как диагональ квад- |
||||||||||||||||
рата; FO =1 | AK = | 1 a , по свойству средней линии треугольника. |
|||||||||||||||
Таким образом, S =2 BD FO = | 2 2 a | 2 a = | . ■ |
||||||||||||||
Ответ: 4) | a 2. | ||||||||||||||||
Исследование свойств отношения перпендикуляр- |
|||||||||||||||||
ности плоскостей и его применений начнем с прос- |
|||||||||||||||||
той, но очень полезной теоремы. | |||||||||||||||||
Теорема 2 (о перпендикуляре к линии пересечения перпенди- кулярных плоскостей).
Если две плоскости перпендикулярны, то прямая, принадлежащая одной плоскости и перпендикулярная линии пересечения этих плоскостей, перпендикулярна второй плоскости.
Пусть перпендикулярные плоскости
α и β пересекаются по прямой с, а прямаяb в плоскости β перпендикулярна прямойс и пересекает ее в точкеВ (рис. 425). По опре-
делению перпендикулярности плоскостей, в плоскости β через точку В проходит прямая
b 1 ,перпендикулярная плоскости α. Понятно, что она перпендикулярна прямойс . Но че-
рез точку прямой в плоскости можно провес- ти лишь одну прямую, перпендикулярную данной прямой. Поэтому
прямые b иb 1 совпадают. А это означает, что прямая одной плоскос- ти, перпендикулярная линии пересечения двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна второй плоскости. ■
Применим рассмотренную теорему к обоснованию еще одного признака перпендикулярности плоскостей, важного с точки зре- ния последующего изучения взаимного расположения двух плос- костей.
Пустьплоскостиαиβперпендикулярны, прямая с - линия их пересечения. Через произвольную точкуА прямойс проведем
в плоскостях α и β прямые а иb, перпен- дикулярные прямойс (рис. 426). По теоре-
ме 2, прямые а иb перпендикулярны соот- ветственно плоскостям β и α, поэтому они перпендикулярны между собой:а b . Пря-
мые а иb определяют некоторую плоскость γ. Линия пересеченияс плоскостей α и β
перпендикулярна плоскости γ, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18): с а , с b , а γ, b γ. Если учесть произвольность выбора точкиА на прямойс и тот факт, что через точкуА прямойс проходит единственная плоскость, ей перпендикулярная, то можно сделать следующий вывод.
Теорема 3 (о плоскости, перпендикулярной линии пересече- ния перпендикулярных плоскостей).
Плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух перпендикулярных плоскостей, пересекает эти плоскости по перпендикулярным прямым.
Таким образом, установлено еще одно свойство перпендику- лярных плоскостей. Это свойство является характеристическим, то есть если оно справедливо для некоторых двух плоскостей, то плоскости перпендикулярны между собой. Имеем еще один при- знак перпендикулярности плоскостей.
Теорема 4 (второй признак перпендикулярности плоскос- тей).
Если прямые пересечения двух плоскостей третьей плоскостью, перпендикулярной линии их пересечения, перпендикулярны, то данные плоскости тоже перпендикулярны.
Пусть плоскости α и β пересекаются по прямойс , и плоскость γ, перпендикулярная прямойс , пересекает плоскости α и β соот-
ветственно по прямым а иb (рис. 427). По условию,а b . Поскольку γс , тоа с. А поэтому прямаяа перпендикулярна плос- кости β, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18). Отсю-
да вытекает, что плоскости α и β перпенди- кулярны, по признаку перпендикулярнос- ти плоскостей (теорема 1).■
Заслуживают внимания и теоремы о связях перпендикуляр- ности двух плоскостей третьей плоскости с их взаимным распо- ложением.
Теорема 5 (о линии пересечения двух плоскостей, перпендику- лярных третьей плоскости).
Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то линия их пересечения перпендикулярна этой плоскости.
Пусть плоскости α и β, перпендикулярные плоскости γ, пере- секаются по прямойа (a || γ), иА - точка пересечения прямойа с
Перпендикулярность плоскостей | |
плоскостью γ (рис. 428). Точка А принадле- |
|
жит линиям пересечения плоскостей γ и α, γ |
|
и β, а, по условию, α γ и β γ. Поэтому, по |
|
определению перпендикулярности плоскос- |
|
тей, через точку А можно провести прямые, |
|
лежащие в плоскостях α | и β и перпендику- |
лярные плоскости γ. Поскольку через точку |
|
можно провести лишь одну прямую, пер- |
|
пендикулярную плоскости, то построенные |
|
прямые совпадают и совпадают с линией |
|
пересечения плоскостей α и β. Таким образом, прямая а - линия |
|
пересечения плоскостей α и β - перпендикулярна плоскости γ. ■ |
|
Рассмотрим теорему, описывающую связь между параллель- ностью и перпендикулярностью плоскостей. Соответствующий ре- зультат мы уже имели для прямых и плоскостей.
Теорема 6 (о параллельных плоскостях, перпендикулярных третьей плоскости).
Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна третьей, то и вторая плоскость перпендикулярна ей.
Пусть плоскости α и β парал- лельны, а плоскость γ перпендикуляр- на плоскости α. Поскольку плоскость γ
пересекает плоскость α, то она должна пересекать и параллельную ей плос- кость β. Возьмем в плоскости α про-
извольную прямую m , перпендику- лярную плоскости γ, и проведем через нее, а также через произвольную точ- ку плоскости β, плоскость δ (рис. 429).
Плоскости δ и β пересекаются по прямой п, а поскольку α║ β, тот ║ п (теорема 2 §18). Из теоремы 1 вытекает, чтоп γ, а потому перпендикулярной плоскости γ будет и плоскость β, проходящая через прямуюп. ■
Доказанная теорема дает еще один признак перпендикуляр- ности плоскостей.
Через заданную точку провести плоскость, перпендикулярную данной, можно с помощью признака перпендикулярности плоскос- тей (теорема 1). Достаточно через эту точку провести прямую, пер- пендикулярную данной плоскости (см. задачу 1 § 19). А затем через построеннуюпрямуюпровестиплоскость.Онабудетперпендикуляр- ной данной плоскости по указанному признаку. Понятно, что таких плоскостей можно провести бесконечное множество.
Более содержательной является задача о построении плоскос- ти, перпендикулярной данной, при условии, что она проходит че- рез данную прямую. Понятно, что если данная прямая перпенди- кулярна данной плоскости, то таких плоскостей можно построить бесконечное множество. Осталось рассмотреть случай, когда дан- ная прямая не перпендикулярна данной плоскости. Возможность такого построения обоснована на уровне физических моделей прямых и плоскостей в примере 1.
З а д а ч а 1 . Доказать, что через произвольную прямую, не пер- пендикулярную плоскости, можно провести плоскость, перпенди- кулярную данной плоскости.
Пусть даны плоскость α и прямаяl , l B\ a. Возьмём на прямойl произвольную точкуМ и проведем через нее прямуют, перпен- дикулярную плоскости α (рис. 430, а). Поскольку, по условию,l не перпендикулярна α, то прямыеl ит пересекаются. Через эти прямые можно провести плоскость β (рис. 430, б), которая, соглас- но признаку перпендикулярности плоскостей (теорема 1), будет перпендикулярной плоскости α. ■
П р и м е р 3 . Через вершинуА правильной пирамидыSABC с основаниемABC провести прямую, перпендикулярную плоскости боковой граниSBC.
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о пер- пендикуляре к линии пересечения перпендикулярных плоскостей
(теорема 2). Пусть K - середина ребраBC (рис. 431). ПлоскостиAKS иBCS перпенди- кулярны, по признаку перпендикулярнос- ти плоскостей (теорема 1). Действительно,ВС SK иВС АK , как медианы, проведен- ные к основаниям в равнобедренных тре угольниках. Поэтому, по признаку перпенди- кулярности прямой и плоскости (теорема 1 §18), прямаяВС перпендикулярна плоскостиAKS. ПлоскостьBCS проходит через прямую, перпендикулярную плоскостиAKS.
Построение. Проведем в плоскостиAKS из точкиA прямуюAL , перпендикулярную прямойKS - линии пересечения плоскостейAKS иBCS (рис. 432). По теореме о перпен- дикуляре к линии пересечения перпендику- лярных плоскостей (теорема 2), прямаяAL перпендикулярна плоскостиBCS. ■
Контрольные вопросы | |||||
На рис. 433 изображен квадрат ABCD , |
|||||
прямая MD перпендикулярна плоскости |
|||||
ABCD. Какие из пар плоскостей не явля- |
|||||
ются перпендикулярными: |
|||||
MAD и MDC; | МВС и МАВ; |
||||
ABC и MDC; | MAD и МАВ ? |
||||
2. На рис. 434 изображена правиль - ная четырехугольная пирамида
SABCD, точки P, M, N -середи -
ны рёбер AB, BC, BS, O -центр основания ABCD.Какие из пар плос - костей перпендикулярны:
1) ACS и BDS;2) MOSи POS;
3) COS и MNP; 4) MNPи SOB;
5) CND и ABS?
Перпендикулярность прямых и плоскостей |
||
3. На рис. 435 | изображен прямоугольный |
|
треугольник | с прямым углом C и |
|
прямая BP , перпендикулярная плоскос- |
||
ти ABC . Какие из следующих пар плос- |
||
костей перпендикулярны: |
||
1) CBPи ABC; | 2) ABPи ABC; |
|
3) PACи PBC; 4) PACи PAB?
4. Две плоскости перпендикулярны. Можно ли через произвольную точку одной из них провести прямую в этой плоскости, второй плоскости?
5. В плоскости α нельзя провести прямую, плоскости β. Могут ли эти плоскости быть ми?
6. Через некоторую точку плоскости α проходит щая в этой плоскости и перпендикулярная плоскости ли, что плоскости α и β перпендикулярны?
Секция забора прикреплена к вертикальному столбу ли утверждать, что плоскость забора вертикальна?
Как к рейке, параллельной поверхности земли, прикрепить вертикально щит?
Почему поверхность дверей, независимо от того, закрыты они или открыты, располагается вертикально к полу?
Почему отвес плотно прилегает к вертикальной стене, а к на- клонной - не обязательно?
Можно ли к наклонному столбу прикрепить щит так, чтобы он был перпендикулярен поверхности земли?
Как на практике установить, перпендикулярна ли плоскость
стены плоскости пола? перпендикулярнуюперпендикулярнуюперпендикулярны - прямая, лежа - β. Верно 7. . Можно 8.9.10.11.12.
Графические упражнения
1. На рис. 436 изображен куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
1) Укажите плоскости, перпендикулярные плоскости ВDD 1 .
2) Как расположены плоскости и
A1 B1 CAB 1 C 1
Перпендикулярность плоскостей | |||||||
437 плоскости квадратов ABCD и |
|||||||
ABC1 D1 | перпендикулярны. Расстояние | СC1 | |||||
равно b . Найдите длину отрезка: | |||||||
АВ; | D1 C; | ||||||
D1 D; | C1 D. | дан- |
|||||
Постройте рисунок по приведенным |
|||||||
1) Плоскости равносторонних треугольников |
|||||||
АВС иАВK перпендикулярны. | |||||||
Плоскость АВС перпендикулярна плоскостямBDC иBEA. |
|||||||
Плоскости α и β перпендикулярны плоскости γ и пересе- |
|||||||
каются по прямой а, линиями их пересечения с плоскостью γ |
|||||||
являются прямые b ис. | |||||||
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плос- |
|||||||
кости АВ 1 С 1 иВСА 1 перпендикулярны. | |||||||
421. ОтрезокOS проведен из центраО квадратаABCD перпен- дикулярно его плоскости.
1°) Определите взаимное расположение плоскостей ACS
и АВС.
2°) Определите взаимное расположение плоскостей ACS
и BDS .
3) Постройте плоскость, проходящую через прямую OS пер- пендикулярно плоскостиABS.
4) Постройте плоскость, перпендикулярную плоскости АВС и проходящую через середины сторонAD иCD.
422. Из точки пересеченияO диагоналей ромбаABCD проведен перпендикулярный плоскости ромба отрезокOS ;AB = DB =
1°) Определите взаимное расположение плоскостей SDB и
ABC, SDBи ACS.
2°) Постройте плоскость, проходящую через прямую BC пер- пендикулярно плоскостиABD.
3) Проведите через середину F отрезкаCS плоскость, пер- пендикулярную плоскостиАВС.
4) Найдите площадь треугольника BDF.
423. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 .
1°) Определите взаимное расположение плоскостей АВ 1 С 1
и CDD1 .
2°) Определите взаимное расположение плоскостей АВ 1 С 1
и CD1 A1 .
3°) Постройте плоскость, проходящую через точку А перпен- дикулярно плоскостиBB 1 D 1 .
4) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через се- редины рёберА 1 D 1 иB 1 C 1 перпендикулярно плоскостиАВС. 5)ОпределитевзаимноерасположениеплоскостиАА 1 В иплос- кости, проходящей через середины рёберА 1 В 1 , C 1 D 1 , CD.
6) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через ребро ВВ 1 и середину ребраA 1 D 1 (ВВ 1 = а ).
7) Постройте точку, симметричную точке А относительно плоскостиA 1 B 1 C.
424. В правильном тетраэдреАBCD с ребром 2 см точкаМ - се- рединаDВ , а точкаN - серединаАС.
1°) Докажите, что прямая DВ перпендикулярна плоскости
2°) Докажите, что плоскость ВDМ перпендикулярна плос- костиАМС.
3) Через точку О пересечения медиан треугольникаАDС проведите прямую, перпендикулярную плоскостиАМС.
4) Найдите длину отрезка этой прямой внутри тетраэдра. 5) В каком отношении плоскость АМС делит этот отрезок?
425. Два равносторонних треугольникаАВС иADC лежат в пер- пендикулярных плоскостях.
1°) Найдите длину отрезка BD, еслиAC = 1 см.
2) Докажите, что плоскость BKD (K лежит на прямойAC ) перпендикулярна плоскости каждого из треугольников тог- да и только тогда, когдаK является серединой стороныAC.
426. ПрямоугольникABCD, стороны которого 3 см и 4 см, пере- гнули по диагоналиAC так, что треугольникиABC иADC расположились в перпендикулярных плоскостях. Опреде- лите расстояние между точкамиB иD после того, как пере- гнули прямоугольникABCD.
427. Через данную точку проведите плоскость, перпендикуляр- ную каждой из двух данных плоскостей.
428°. Докажите, что плоскости смежных граней куба перпендику- лярны.
429. Плоскости α и β перпендикулярны между собой. Из точкиА плоскости α проведена перпендикулярная плоскости β пря- маяАВ. Докажите, что прямаяАВ лежит в плоскости α.
430. Докажите, что если плоскость и прямая, не лежащая в этой плоскости, перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны между собой.
431. Через точкиА иВ , лежащие на линии пересеченияр пер- пендикулярных между собой плоскостей α и β, проведены перпендикулярныер прямые:АА 1 в α, ВВ 1 в β. ТочкаX ле- жит на прямойАА 1 , а точкаY - наВB 1 . Докажите, что пря- маяВB 1 перпендикулярна прямойВХ , а прямаяАA 1 пер- пендикулярна прямойАY.
432*. Через середину каждой стороны треугольника проведена плоскость, перпендикулярная этой стороне. Докажите, что все три проведенные плоскости пересекаются по одной пря- мой, перпендикулярной плоскости треугольника.
Упражнения для повторения
433. В равностороннем треугольнике со стороной b определите: 1) высоту; 2) радиусы вписанной и описанной окружностей.
434. Из одной точки проведен к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Определите длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 см и 50 см, а их проекции на данную прямую относятся, как 3: 10.
435. Определите катеты прямоугольного треугольника, если бис - сектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 15 см и
Основное определение
Две плоскости называ-
ются перпендикуляр ными, если каждая из них образована прямы - ми, перпендикулярны - ми второй плоскости и проходящими через точки пересечения этих плоскостей.
Основные утверждения | ||||
Признак перпенди | Если одна | |||
кулярности | плоскостей | прохо- | ||
плоскостей | дит через | |||
перпендикулярную | ||||
второй плоскости, то | b α, b β α β |
|||
эти плоскости пер- |
||||
пендикулярны. | ||||
перпен- | две плоскости | ||||
дикуляре | перпендикулярны, то | ||||
пересеченияперпен | прямая, принадлежа- | ||||
дикулярных | плос- | щая одной плоскости | |||
и перпендикулярная | |||||
пересечения | |||||
этих плоскостей, пер- | α β, b β, c = α ∩β, |
||||
пендикулярна второй | b c b α |
||||
плоскости. | |||||
Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Приведем без доказательства теоремы стереометрии, полезные для решения последующих метрических задач.
1. Признак перпендикулярности двух плоскостей: если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
2. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то
прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.
3. Для наклонной прямой, не являющейся перпендикуляром к плоскости, имеет место утверждение: через наклонную проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной плоскости.
Последнее утверждение позволяет предложить следующий алгоритм построения плоскости, проходящей через наклонную АВ и перпендикулярную заданной плоскости Σ:
1) на АВ выбирается произвольная точка Е;
2) строится прямая t таким образом, что t " Е, t ^ h , t ^ f , где h Ì Σ, f Ì Σ
(рис. 7.10), т.е. t ^ Σ.
Плоскость (АВ,t) будет единственной плоскостью, перпендикулярной плоскости Σ. Заметим, что через прямую t ^ Σ проходит не одна плоскость, перпендикулярная Σ.
Задача. Дана плоскость Σ(CD, MN), где CD // MN и прямая АВ (рис. 7.11).
Построить на КЧ плоскость, проходящую через АВ и перпендикулярную плоскости Σ.
Алгоритм проекционного решения задачи:
1) строятся линии уровня h(h 1 ,h 2) и f(f 1 ,f 2) в плоскости Σ, при этом h 2 // х, f 1 // х;
2) строятся проекции t 1 и t 2 прямой t таким образом, что t 2 " E 2 , t 2 ^ f 2 ; t 1 " E 1 , t 1 ^ h 1 , где Е Î АВ – произвольная точка. Плоскость (АВ, t) – решение задачи.
Задача. Даны плоскости Σ(АВ, DC) и Δ(KL, PT), где
AB Ç DC, KL // PT, а также точка Е. Построить плоскость, проходящую через точку Е и перпендикулярную обеим плоскостям Σ и Δ (рис. 9.9).
Одно из возможных решений данной задачи состоит в следующем. Вначале строится линия пересечения заданных плоскостей t = Σ Ç Δ. Затем, на основании приведенных теорем стереометрии, строится плоскость, проходящая через точку Е и перпендикулярная линии t. Будучи единственной, эта плоскость представляет собой решение задачи.
Возможен другой алгоритм решения данной задачи (см. рис. 9.8):
1) из данной точки Е опускается перпендикуляр а на плоскость Σ;
2) из точки Е опускает перпендикуляр b на плоскость Δ.
Плоскость (a, b), где a Ç b = E, есть решение задачи. Рассмотрим реализацию этого алгоритма на КЧ (см. рис. 9.9).
1. В плоскости Σ построим линии уровня h 1 (h 1 1 , h 1 2) и f 1 (f 1 1 , f 1 2) . При этом
h 1 2 // x; f 1 1 // x.
2. В плоскости Δ построим линии уровня h 2 (h 2 1 , h 2 2) и f 2 (f 2 1 , f 2 2) . При этом
h 2 2 // х; f 2 1 //х.
3. Из точки Е опускаются два перпендикуляра: а ^ Σ, b ^ Δ. При этом
а 2 ^ f 1 2 , а 1 ^h 1 1 ; b 2 ^ f 2 2 , b 1 ^ h 2 1 .
Две прямые а и b, пересекающиеся в точке Е, определяют искомую плоскость, т.е. плоскость, перпендикулярную заданным плоскостям Σ и Δ.
