5.1 Задание плоскости
Плоскость задается тремя произвольными точками, не принадлежащими одной прямой. Плоскость в пространстве можно задать:
· тремя точками, не лежащими на одной прямой (рисунок 5.1, а);
· прямой и не принадлежащей ей точкой (рисунок 5.1, б );
· двумя пересекающимися прямыми (рисунок 5.1, в );
· двумя параллельными прямыми (рисунок 5.1, г );
· любой плоской фигурой (рисунок 5.1, д ).
Рисунок 5.1
Каждый из перечисленных способов задания плоскости допускает переход к любому другому, т.к. положение прямой в плоскости определяется двумя ее точками или одной точкой и направлением этой прямой.
Часто применяется способ задания плоскости с помощью прямых линий (взаимно пересекающихся или параллельных), по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций П 1 П 2 , П 3 . Кроме этого- это задание плоскости следами, при этом сохраняется наглядность изображения (рисунок 5.2).
Рисунок 5.2
5.2 Следы плоскости.
Линия пересечения рассматриваемой плоскости с плоскостью проекций (П 1 , П 2 , П 3 ) называется следом плоскости. Иными словами, след плоскости - это прямая, лежащая в плоскости проекций. Следу присваивается наименование той плоскости проекций, которой он принадлежит. Например, горизонтальный след получен при пересечении заданной плоскости с плоскостью П 1 и обозначается , фронтальный - с плоскостью П 2 (), профильный - с плоскостью П 3 (). Два следа одной и той же плоскости пересекаются на оси проекции в точке, называемой точкой схода следов. Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, остальные проекции оказываются лежащими на осях. Например, горизонтальный след плоскости Σ(рисунок 5.2) совпадает со своей горизонтальной проекцией , фронтальная его проекция находится на оси х , а профильная на оси у. По расположению следов плоскости можно судить о положении данной плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций П 1 ,П 2 , П 3 .
5.3 Положение плоскости относительно плоскостей проекций
Любая, произвольно взятая в пространстве плоскость, может занимать общее или частное положение. Плоскостью общего положения называется плоскость, которая не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций (см. рисунок 5.2). Все остальные плоскости (кроме плоскостей проекций) относятся к плоскостям частного положения и подразделяются на проецирующие плоскости и плоскости уровня. |Проецирующей называется плоскость, перпендикулярная к одной
из плоскостей проекций. Например, горизонтально-проецирующая плоскостьперпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции П 1 (рисунок 5.3).
Рисунок 5.3
Горизонтальные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с горизонтальным следом 1 . Угол, который образуется между плоскостями и П 2 , проецируется на П 1 без искажения. Фронтальный след 2 перпендикулярен к оси x.
Фронтально-проецирующая плоскость () перпендикулярна к фронтальной плоскости П 2 показана на рисунке 5.4. Фронтальные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с фронтальным следом плоскости 2 . Угол , который образуется между заданной плоскостью и П 1 , проецируется на П 2 без искажения. Горизонтальный след плоскости 1 перпендикулярен к оси x.
Рисунок 5.4
Профильно-проецирующая плоскость Т (T 1 , T 2) перпендикулярна к профильной плоскости проекции П 3 (рисунок 5.5).
Рисунок 5.5
Профильные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с профильным следом плоскости Т 3 . Углы и , которые образуются между заданной плоскостью и плоскостями проекций П 1 и П 2 (= T^П 1 ; = Т^П 2 ), проецируются на плоскость П 3 без искажений. Горизонтальный и фронтальный следы плоскости параллельны оси х.
Профильно-проецирующая плоскость может проходить через ось x: (рисунок 5.6).
Рисунок 5.6
Следы этой плоскости 1 = 2 совпадают друг с другом и с осью x, поэтому не определяют положение плоскости. Необходимо кроме следов задать в плоскости точку (рисунок 5.6). В частном случае эта плоскость может быть биссекторной плоскостью. Угол ° = °, а точка А равноудалена от плоскостей проекций П 1 и П 2 . Плоскостью уровня называется плоскость, перпендикулярная одновременно к двум плоскостям проекций и параллельная третьей. Таких плоскостей три разновидности (рисунок 5.7):
· горизонтальная плоскость уровня перпендикулярна к П 2 , П 3 и параллельна П 1 (рисунок 5.7, а);
· фронтальная плоскость уровня перпендикулярна к П 1 ,П 3 и параллельна П 2 (рисунок 5.7, б);
· профильная плоскость уровня перпендикулярна к П 1 , П 2 и параллельна П 3 (рисунок 5.7 в ).
Рисунок 5.7
Из определения плоскостей уровня следует, что одна из проекций точки, линии, фигуры, принадлежащих этим плоскостям, будет совпадать с одноименным следом плоскости уровня, а другая проекция будет натуральной величиной этих геометрических образов.
5.4 Признаки принадлежности точки и прямой плоскости
Для определения принадлежности точки и прямой плоскости, расположенной в пространстве, следует руководствоваться следующими положениями:
· точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести линию, лежащую в плоскости;
· прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки;
· прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку данной плоскости параллельно прямой, принадлежащей этой плоскости.
Через одну точку на плоскости можно провести бесконечное множество линий. Это могут быть произвольные линии и линии, занимающие особое положение по отношению к плоскостям проекций П 1 П 2 , П 3 . Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью плоскости.
Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно фронтальной плоскости проекций, называется фронталью плоскости.
Горизонталь и фронталь являются линиями уровня.
Горизонталь плоскости следует начинать строить с фронтальной проекции, т.к. она параллельна оси x , горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.
А так как все горизонтали плоскости параллельны между собой, можно считать горизонтальный след плоскости нулевой горизонталью (рисунок 5.8).
Фронталь плоскости следует начинать строить с горизонтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу. Фронтальный след плоскости - нулевая фронталь. Все фронтали плоскости параллельны между собой (рисунок 5.9).
Рисунок 5.8
Рисунок 5.9
К линии уровня относится и профильная прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная П 3 .
К главным линиям особого положения в плоскости, кроме линии уровня, относятся линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций.
5.5 Определение угла наклона плоскости к плоскостям проекций
Плоскость общего положения, расположенная в пространстве произвольно, наклонена к плоскостям проекций. Для определения величины двухгранного угла наклона заданной плоскости к какой-либо плоскости проекции используются линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций: к П 1 - линия ската, к П 2 - линия наибольшего наклона плоскости к плоскости П 2 .
Линии наибольшего наклона плоскости - это прямые, образующие с плоскостью проекций наибольший угол, проводятся в плоскости перпендикулярно к соответствующей линии уровня. Линии наибольшего наклона и ее соответствующая проекция образуют линейный угол, которым измеряется величина двухгранного угла, составленного данной плоскостью и плоскостью проекций (рисунок 5.10).
Точка принадлежит прямой, если её проекции лежат на одноимённых проекциях этой прямой (рис. 21а).
Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, лежащей в этой плоскости (рис.21б).
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в этой плоскости (рис.21в).
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. На рисунке 22 изображена прямая t, параллельная прямой b, принадлежащей плоскости Σ: t // b Î Σ (aÇ b).
Рисунок 22
Через любую точку пространства можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной плоскости.
Это задача на определение общей точки прямой и плоскости. Её называют также точкой встречи. Рассмотрим пересечение прямой с плоскостью частного положения.
Плоскость Σ задана треугольником АВС и является горизонтально проецирующей плоскостью. Точка встречи прямой k с плоскостью Σ определяется по горизонтальной проекции. Фронтальная проекция точки К достраивается с помощью линии связи. Символическая запись будет выглядеть следующим образом: k Ç Σ (ABC) = K.
Видимость прямой относительно плоскости определяется при помощи фронтально-конкурирующих точек 1 и 2.
Рисунок 23
Пересечение прямой с плоскостью общего положения изображено на рисунке 24. В этом случае нужно заключить прямую в проецирующую плоскость.
t Î Σ ^ П 2 - прямая t принадлежит плоскости Σ, которая перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций. Линия пересечения этой плоскости с данной - линия (1, 2). Затем находится точка пересечения этой линии с прямой t , которая и будет являться точкой встречи прямой и плоскости. Видимость прямой относительно плоскости определяется при помощи конкурирующих точек. Возьмем горизонтально конкурирующие точки 3 и 4. Так как точка 3, принадлежащая прямой, оказалась ниже чем точка 4, следовательно, прямая на горизонтальной плоскости справа от точки пересечения невидима. Затем берем фронтально конкурирующие точки 1 и 5. Точка 1, принадлежащая плоскости, лежит ближе, следовательно, прямая находится за плоскостью, и она на фронтальной проекции невидима от точки 1 до точки К.
Рисунок 24
К особым прямым, принадлежащим плоскости, относятся горизонталь, фронталь и профильная прямая. Построение этих прямых используется при решении многих задач по начертательной геометрии. Их изображение дано на рисунке 25. Причём на горизонтальной плоскости горизонталь имеет натуральную величину, на фронтальной плоскости - фронталь и на профильной плоскости - профильная прямая.
Рисунок 25
1. Сформулируйте условия принадлежности точки плоскости и прямой плоскости.
2. Как построить прямую параллельную заданной плоскости?
3. Вспомните этапы решения задачи на определение точки пересечения прямой и плоскости.
4. Какие точки называются конкурирующими?
5. Как провести в плоскости горизонталь и фронталь?
6. Какие еще особые прямые плоскости вы знаете?
Взаимное расположение прямой линии и плоскости
Возможны следующие три случая относительного расположения прямой и плоскости: прямая принадлежит плоскости, прямая параллельна плоскости, прямая пересекает плоскость.Прямая линия, пересекающая плоскость Поставлена задача:
Определить точку К пересечения данной прямой а с плоскостью a . Определить видимость прямой. Решение задачи выполняется в три этапа.
- прямая а - общего положения, плоскость a - проецирующая (или уровня);
- прямая а - проецирующая, плоскость a - общего положения;
- прямая а - общего положения, плоскость a - общего положения.
Решение первых двух задач можно выполнить, не применяя алгоритма, так как один из заданных образов частного положения.
 |
Во
втором случае прямая
а
- фронтально-проецирующая
. Поэтому фронтальные проекции любой ее точки, а также и искомой К пересечения а с плоскостью a (АВС), совпадает с ее вырожденной проекцией a " совпадает с К " . Построение горизонтальной проекции К " точки К выполняется из условия принадлежности точки К плоскости a : точка К принадлежит плоскости a , так как она принадлежит ее прямой A1 (К " находится как точка пересечения прямой A " 1 " с прямой а " ). Видимость прямой а в этих задачах решается просто - с помощью реконструкции данных образов (по наглядности). |
В третьем,
общем, случае построение искомой точки
К
пересечения прямой
а
с плоскостью
a
(c//
d
) выполнено по описанному алгоритму.
1) прямую а
заключают во вспомогательную горизонтально
проецирующую плоскость- посредник S(S
"
)
;
2) строят прямую m
пересечения плоскостей a
(c//
d)
и S(S
"
)
.
На чертеже это отразится записью Фронтальную проекцию m
""
строят из условия ее принадлежности
данной плоскости a
(m
и a
имеют общие точки 1
и 2
);
3) находят точку K
""
, как результат
пересечения a
""
с m
""
, а
K
"
строят по принадлежности
прямой m
"
. Точка K
(K
""
,K
"
) - искомая точка
пересечения прямой a
с плоскостью a
(c//
d)
.
Задачу заканчивают определением видимости
прямой по правилу конкурирующих точек. Так, на
плоскости
Н
видимость определена
с помощью горизонтально конкурирующих точек
1
и
где точка
1
принадлежит плоскости
a
, а точка
3
-
прямой
a
. Точка
3
расположена над точкой
1
, поэтому точка
3
и
прямая
a
в этом участке на
плоскости
Н
будет видима.
На фронтальной плоскости видимость может быть
определена или с помощью пары
фронтально-конкурирующих точек, или по
реконструкции данных образов (при восходящей
плоскости видимость одинаковая на плоскостях
Н
и
V
).
Если прямая линия пересекает плоскость под прямым углом, то на комплексном чертеже проекции этой прямой располагаются перпендикулярно проекциям соответствующих линий уровня лоскости.
Если, например, на плоскость, заданную треугольником
ABC , необходимо опустить перпендикуляр из точки К , то построение выполняют следующим образом. Взаимное расположение двух плоскостейДве плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельными, либо пересекающимися. Плоскости параллельны , если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Искомая плоскость b , параллельная заданной плоскости a , определена прямыми a 1 и b 1 соответственно параллельными a и b заданной плоскости и проходящими через произвольную точку пространства A .
Пересекающиеся плоскости. Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две точки, общие обеим плоскостям. Если одна из пересекающихся плоскостей занимает частное положение, то ее вырожденная проекция b "" включает в себя и проекцию a"" линии a пересечения плоскостей. Горизонтальную проекцию a" прямой a строят по двум общим с плоскостью точкам 1 и 2 .
Определение линии пересечения двух плоскостей общего положения
Для определения точек линии пересечения обе заданные плоскости a и b пересекают двумя вспомогательными (параллельными между собой) плоскостями-посредник. Некоторое упрощение можно достичь, если вспомогательные плоскости проводить через прямые, задающие плоскость. Рассмотрим пример. Плоскость a задана (ABC ), плоскость b задана (DEK ). Точки M и N , определяющие искомую линию пересечения двух данных плоскостей найдем как точки пересечения каких-либо двух сторон (как две прямые) треугольника ABC с плоскостью другого треугольника DEK , т.е. дважды решим позиционную задачу на определение точки пересечения прямой с плоскостью по рассмотренному алгоритму.Выбор сторон треугольников произволен, так как только построением можно точно определить, какая действительно сторона и какого треугольника пересечет плоскость другого. Выбор плоскости-посредник также произволен, так как прямую общего положения, какими являются все стороны треугольников ABC и DEK , можно заключить в горизонтально проецирующую или во фронтально проецирующую плоскости.
Рассмотрим решение этой задачи на плоском чертеже.
 |
1-й
этап решения Для построения точки M использована горизонтально проецирующая плоскость - посредник a (a " ), в которую заключена сторона AB треугольника ABC . 2-й этап решения Строим линию пересечения (на чертеже она задана точками 1 и 2 ) плоскости-посредника a (a " ) и плоскости DEK . 3-й этап решения Находим точку M пересечения прямой 1 - 2 с прямой AB . Найдена одна точка M искомой линии пересечения.Для построения точки N использована горизонтально проецирующая плоскость b (b " ), в которую заключена сторона AC треугольника ABC .Построения аналогичны предыдущим. |
Определение видимости на плоскости
H выполнено с помощью горизонтально конкурирующих точек 4 и 8 .Точка 4 расположена над точкой 8 (4 " и 8 " ), поэтому на плоскости H часть треугольника DEK , расположенная в сторону точки 4 , закрывает собой часть треугольника ABC , расположенную от линии пересечения в сторону точки 8 .
С помощью пары фронтально конкурирующих точек 6 и 7 определена видимость на плоскости V .
Построение точки в плоскости сводится к двум операциям: построению в плоскости вспомогательной прямой и построению точки на этой прямой.
Задача: Плоскость S задана пересекающимися прямыми а и b (рис. 2-3). Точка М(М 2) принадлежит плоскости.
Найти М 1.
Краткая запись условия задачи: S(а Ç b), М(М 2)Î S; М 1 = ?
Решение: Через точку М 2 (рис. 2-4) проводим вспомогательную прямую
kÌ S: k 2 Ç a 2 =1 2 ; k 2 Ç b 2 =2 2 ;
затем находим горизонтальные проекции точек 1 и 2 по условию принадлежности прямым а и b соответственно; через две точки 1 1 и 2 1 проводим прямую k 1 и на ней, с помощью линии связи, находим точку М 1 . И таких прямых можно провести сколько угодно, то есть, вариантов решения бесчисленное множество.
Прямая принадлежит плоскости, если она:
1. Проходит через две точки плоскости;
Проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.
В предыдущем примере мы рассмотрели, как построить прямую в плоскости по двум точкам. Для второго случая плоскость Г зададим треугольником АВС.
Задача: Плоскость Г задана DАВС (рис. 2-5).
Точка М(М 1) принадлежит Г . Найти М 2 .
М(М 1)Î Г(АВС). М 2 = ?
Решение:
Через точку М 1 (рис.2-6) проведём прямую k , параллельную стороне треугольника АВ . Она пересечёт сторону АС в точке 1 : k 1 || A 1 B 1 ; k 1 A 1 Ç C 1 =1 1 ; с помощью линии связи найдём 1 2 , проведём k 2 параллельно А 2 В 2 ней найдём точку М 2 :
Алгоритмическая запись решения:
1 1 Î A 1 C 1 Þ 1 2 Î A 2 C 2 ; 1 2 Î k 2 , k 2 || A 2 B 2 ; M 2 Î k 2 .
Как вы думаете?
Сколько решений имеет эта задача?
Плоскости частного положения
Плоскости, параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются плоскостями частного положения.
Имеется две группы таких плоскостей:
- Проецирующие плоскости
- Плоскости уровня
Проецирующие плоскости
Если плоскость перпендикулярна только одной плоскости проекций, то она называется проецирующей.
Одна из её проекций вырождается в прямую линию, называемую главной проекцией и обладающую собирательными свойствами.
Горизонтально проецирующая плоскость
Это плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций: Г^^ П 1
(рис. 2-7а, 2-7б).
Графический признак:
Горизонтальная проекция Г 1 горизонтально проецирующей плоскости прямая линия, не параллельная и не перпендикулярная линиям связи. Это главная проекция.
Например:
Г ^^ П 1 - горизонтально проецирующая плоскость.
Г^ П 1 Þ Г 1 - прямая линия, главная проекция.
Ðb - угол наклона плоскости Г к П 2 .
Пространственный чертеж
